Exercício Resolvido de Campo Elétrico
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Considere duas cargas iguais de mesmo sinal separadas por uma distância 2d. Calcule o módulo do campo elétrico nos pontos ao longo da reta que une as duas cargas. Verifique a solução para pontos muito afastados.
Esquema do problema:
Adotamos um sistema de referência no ponto central, 0, entre as duas cargas, x é a distância até o ponto P onde queremos calcular o campo elétrico (Figura 1).
A distância da carga +q até o ponto P é \( r=x-d \) (mais perto do ponto P), e a distância da outra carga +q até o ponto P é \( r=x+d \) (mais longe do ponto P). Como uma das cargas está mais perto do ponto P, ela produzirá um campo mais intenso do que a outra carga.
Solução
O módulo do campo elétrico de cada carga é calculado por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{E=k_0\frac{q}{r^2}}
\end{gather}
\]
O campo elétrico resultante será dado por
\[
\begin{gather}
E=E_1+E_2\\[5pt]
E=k_0\frac{q}{(x-d)^2}+k_0\frac{q}{(x+d)^2}\\[5pt]
E=k_0 q\left[\frac{(x+d)^2}{(x-d)^2}+\frac{(x-d)^2}{(x+d)^2}\right]
\end{gather}
\]
Os termos no numerador são da forma de Produtos Notáveis
\[
\begin{gather}
(a+b)^2=a^2+2ab+b^2
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
(a-b)^2=a^2-2ab+b^2
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
E=k_0 q\left[\frac{x^2+2xd+d^2+x^2-2xd+d^2}{(x-d)^2(x+d)^2}\right]\\[5pt]
E=k_0 q\left[\frac{x^2+2xd+d^2+x^2-2xd+d^2}{(x-d)^2(x+d)^2}\right]
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{E=\frac{2k_0 q(x^2+d^2)}{(x-d)^2(x+d)^2}}
\end{gather}
\]
Para pontos muito afastados do centro das cargas, x≫d, podemos desprezar os termos
em d no denominador, e o termo em d2 no numerador e a solução será
\[
\begin{gather}
E=\frac{2k_0 q\cancel{x^2}}{\cancel{x^2}x^2}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{E=\frac{2k_0 q}{x^2}}
\end{gather}
\]
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