Exercício Resolvido de Campo Elétrico

Considere duas cargas iguais de mesmo sinal separadas por uma distância 2d. Calcule o módulo do campo elétrico nos pontos ao longo da reta que une as duas cargas. Verifique a solução para pontos muito afastados.

Esquema do problema:

Adotamos um sistema de referência no ponto central, 0, entre as duas cargas, x é a distância até o ponto P onde queremos calcular o campo elétrico (Figura 1).

Figura 1

A distância da carga +q até o ponto P é \( r=x-d \) (mais perto do ponto P), e a distância da outra carga +q até o ponto P é \( r=x+d \) (mais longe do ponto P). Como uma das cargas está mais perto do ponto P, ela produzirá um campo mais intenso do que a outra carga.

Solução:

O módulo do campo elétrico de cada carga é calculado por

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {E=k_0\frac{q}{r^2}} \end{gather} \]

O campo elétrico resultante será dado por

\[ \begin{gather} E=E_1+E_2 \\[5pt] E=k_0\frac{q}{(x-d)^2}+k_0\frac{q}{(x+d)^2} \\[5pt] E=k_0 q\left[\frac{(x+d)^2}{(x-d)^2}+\frac{(x-d)^2}{(x+d)^2}\right] \end{gather} \]

Os termos no numerador são da forma de Produtos Notáveis

\[ \begin{gather} (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 \end{gather} \]

\[ \begin{gather} (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 \end{gather} \]

\[ \begin{gather} E=k_0 q\left[\frac{x^2+2xd+d^2+x^2-2xd+d^2}{(x-d)^2(x+d)^2}\right] \\[5pt] E=k_0 q\left[\frac{x^2+2xd+d^2+x^2-2xd+d^2}{(x-d)^2(x+d)^2}\right] \end{gather} \]

\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {E=\frac{2k_0 q(x^2+d^2)}{(x-d)^2(x+d)^2}} \end{gather} \]

Para pontos muito afastados do centro das cargas, x≫d, podemos desprezar os termos em d no denominador, e o termo em d² no numerador e a solução será

\[ \begin{gather} E=\frac{2k_0 q\cancel{x^2}}{\cancel{x^2}x^2} \end{gather} \]

\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {E=\frac{2k_0 q}{x^2}} \end{gather} \]