Exercício Resolvido de Campo Elétrico
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Considere duas cargas iguais de mesmo sinal separadas por uma distância 2d. Calcule o módulo do campo elétrico nos pontos ao longo da mediatriz da reta que une as duas cargas. Verifique a solução para pontos muito afastados do centro das cargas.


Construção do vetor campo elétrico resultante:

Sobre a mediatriz da reta que liga as cargas escolhemos um ponto P qualquer onde queremos calcular o campo elétrico. Na direção do segmento de reta que liga uma das carga +q ao ponto P desenhamos o vetor \( \vec E_1 \) apontando para fora da carga, q>0 (Figura 1).
Figura 1

Na direção do segmento de reta que liga a outra carga +q ao ponto P desenhamos o vetor \( \vec E_2 \) apontando para fora da carga, q>0 (Figura 2).
Figura 2

Traçamos pela extremidade do vetor \( \vec E_1 \) uma reta paralela ao vetor \( \vec E_2 \) (Figura 3).
Figura 3

Traçamos pela extremidade do vetor \( \vec E_2 \) uma reta paralela ao vetor \( \vec E_1 \) (Figura 4).
Figura 4

Do ponto P à intersecção das retas temos o vetor resultante \( \vec E \), sendo θ o ângulo entre os vetor campo elétrico \( \vec E_2 \) (ou o vetor \( \vec E_1 \) ) com uma reta auxiliar vertical paralela a reta que liga as duas cargas. O ângulo θ que os vetores campo elétrico, \( \vec E_1 \) e \( \vec E_2 \), fazem com a reta auxiliar é o mesmo ângulo que o segmento r faz com o segmento vertical d (Figura 5).
Figura 5

Observação 1: este sistema não representa um dipolo elétrico, um dipolo é formado por cargas de mesmo valor e sinais opostos, neste caso temos cargas de mesmo sinal.

Observação 2: ao invés de usarmos o ângulo θ entre o segmento r e o segmento vertical d entre as duas cargas, poderíamos usar o ângulo entre o segmento r e o segmento x (Figura 6). A soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180°
\[ \begin{gather} 180°=90°+\theta+\alpha\\[5pt] \alpha=90°\theta \end{gather} \]
Figura 6

Solução:

O módulo do campo elétrico de cada carga é dado por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {E=k_0\frac{q}{r^2}} \tag{I} \end{gather} \]
O campo elétrico resultante será dado por
\[ \begin{gather} \vec E=\vec E_1+\vec E_2 \end{gather} \]
como as cargas têm o mesmo valor, em módulo \( E_1=E_2 \)
\[ \begin{gather} E=E_1\operatorname{sen}\theta+E_2\operatorname{sen}\theta\\[5pt] E=2E_1\operatorname{sen}\theta \tag{II} \end{gather} \]

Observação: usando o cos 90°−θ obtido acima, o campo elétrico será
\[ \begin{gather} E=2E_1\;\cos(90°-\theta) \end{gather} \]
o cosseno da diferença de arcos é dado por
\[ \begin{gather} \cos (a-b)=\cos a\cos b+\operatorname{sen}a\operatorname{sen}b\\[10pt] \cos (90°-\theta)=\underbrace{\cos90°}_0\cos\theta+\underbrace{\operatorname{sen}90°}_1\operatorname{sen}\theta\\[5pt] \cos(90°-\theta)=\operatorname{sen}\theta \end{gather} \]

O seno de θ é obtido de r e x
\[ \begin{gather} \operatorname{sen}\theta=\frac{x}{r} \tag{III} \end{gather} \]
o segmento r é obtido usando o Teorema de Pitágoras
\[ \begin{gather} r^2=d^2+x^2\\[5pt] r=\sqrt{d^2+x^2\;} \tag{IV} \end{gather} \]
substituindo a equação (IV) na equação (III)
\[ \begin{gather} \operatorname{sen}\theta=\frac{x}{\sqrt{d^2+x^2\;}} \tag{V} \end{gather} \]
Substituindo as equações (I) e (V) na equação (II)
\[ \begin{gather} E=2k_0\frac{q}{\left(\sqrt{d^2+x^2\;}\right)^2}\frac{x}{\sqrt{d^2+x^2\;}}\\[5pt] E=2k_0\frac{q}{\left(d^2+x^2\right)}\frac{x}{\left(d^2+x^2\right)^{\frac{1}{2}}} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {E=\frac{2k_0qx}{\left(d^2+x^2\right)^{\frac{3}{2}}}} \end{gather} \]
Para pontos muito afastados do centro do dipolo temos, x≫d, podemos desprezar o termo em d2 no denominador e a solução será
\[ \begin{gather} E=\frac{2k_0qx}{x^{{\cancel 2}\times{\frac{3}{\cancel 2}}}} \\[5pt] E=\frac{2k_0q\cancel x}{x^{\cancelto{2}{3}}} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {E=\frac{2k_0q}{x^2}} \end{gather} \]
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