Considere duas cargas iguais de mesmo sinal separadas por uma distância 2d. Calcule o módulo do
campo elétrico nos pontos ao longo da mediatriz da reta que une as duas cargas. Verifique a solução
para pontos muito afastados do centro das cargas.
Construção do vetor campo elétrico resultante:
Sobre a mediatriz da reta que liga as cargas escolhemos um ponto P qualquer onde queremos
calcular o campo elétrico. Na direção do segmento de reta que liga uma das carga +q ao ponto
P desenhamos o vetor
\( \vec E_1 \)
apontando para fora da carga, q>0 (Figura 1).
Na direção do segmento de reta que liga a outra carga +q ao ponto P desenhamos o vetor
\( {\vec E}_2 \)
apontando para fora da carga, q>0 (Figura 2).
Traçamos pela extremidade do vetor
\( {\vec E}_1 \)
uma reta paralela ao vetor
\( {\vec E}_2 \)
(Figura 3).
Traçamos pela extremidade do vetor
\( {\vec E}_2 \)
uma reta paralela ao vetor
\( {\vec E}_1 \)
(Figura 4).
Do ponto P à intersecção das retas temos o vetor resultante
\( \vec E \),
sendo θ o ângulo entre os vetor campo elétrico
\( {\vec E}_2 \)
(ou o vetor
\( {\vec E}_1 \)
) com uma reta auxiliar vertical paralela a reta que liga as duas cargas. O ângulo θ que
os vetores campo elétrico,
\( {\vec E}_1 \)
e
\( {\vec E}_2 \),
fazem com a reta auxiliar é o mesmo ângulo que o segmento r faz com o segmento vertical d
(Figura 5).
Observação 1: este sistema
não representa um dipolo elétrico, um dipolo é
formado por cargas de mesmo valor e
sinais opostos, neste caso temos cargas de mesmo sinal.
Observação 2: ao invés de usarmos o ângulo
θ entre o segmento
r e o
segmento vertical
d entre as duas cargas, poderíamos usar o ângulo entre o segmento
r
e o segmento
x (Figura 6). A soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180°
\[
\begin{gather}
180°=90°+\theta+\alpha \\[5pt]
\alpha=90°\theta
\end{gather}
\]
Solução:
O módulo do campo elétrico de cada carga é dado por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{E=k_0\frac{q}{r^2}} \tag{I}
\end{gather}
\]
O campo elétrico resultante será dado por
\[
\begin{gather}
\vec E={\vec E}_1+{\vec E}_2
\end{gather}
\]
como as cargas têm o mesmo valor, em módulo
\( E_1=E_2 \)
\[
\begin{gather}
E=E_1\operatorname{sen}\theta+E_2\operatorname{sen}\theta \\[5pt]
E=2E_1\operatorname{sen}\theta \tag{II}
\end{gather}
\]
Observação: usando o cos 90°−
θ obtido acima, o campo elétrico será
\[
\begin{gather}
E=2E_1\;\cos(90°-\theta)
\end{gather}
\]
o cosseno da diferença de arcos é dado por
\[
\begin{gather}
\cos (a-b)=\cos a\cos b+\operatorname{sen}a\operatorname{sen}b \\[10pt]
\cos (90°-\theta)=\underbrace{\cos90°}_0\cos\theta+\underbrace{\operatorname{sen}90°}_1\operatorname{sen}\theta \\[5pt]
\cos(90°-\theta)=\operatorname{sen}\theta
\end{gather}
\]
O seno de θ é obtido de r e x
\[
\begin{gather}
\operatorname{sen}\theta=\frac{x}{r} \tag{III}
\end{gather}
\]
o segmento r é obtido usando o Teorema de Pitágoras
\[
\begin{gather}
r^2=d^2+x^2 \\[5pt]
r=\sqrt{d^2+x^2\;} \tag{IV}
\end{gather}
\]
substituindo a equação (IV) na equação (III)
\[
\begin{gather}
\operatorname{sen}\theta=\frac{x}{\sqrt{d^2+x^2\;}} \tag{V}
\end{gather}
\]
Substituindo as equações (I) e (V) na equação (II)
\[
\begin{gather}
E=2k_0\frac{q}{\left(\sqrt{d^2+x^2\;}\right)^2}\frac{x}{\sqrt{d^2+x^2\;}} \\[5pt]
E=2k_0\frac{q}{\left(d^2+x^2\right)}\frac{x}{\left(d^2+x^2\right)^{\frac{1}{2}}}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{E=\frac{2k_0qx}{\left(d^2+x^2\right)^{\frac{3}{2}}}}
\end{gather}
\]
Para pontos muito afastados do centro do dipolo temos, x≫d, podemos desprezar o termo em
d2 no denominador e a solução será
\[
\begin{gather}
E=\frac{2k_0qx}{x^{{\cancel 2}\times{\frac{3}{\cancel 2}}}} \\[5pt]
E=\frac{2k_0q\cancel x}{x^{\cancelto{2}{3}}}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{E=\frac{2k_0q}{x^2}}
\end{gather}
\]
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