Quatro cargas positivas iguais a q estão localizadas sobre um plano horizontal nos vértices de um
quadrado de lado d.
a) Encontrar a intensidade do campo elétrico num ponto P acima do centro do quadrado a uma
distância igual a d. Admita que as cargas estão num meio onde a constante eletrostática vale
k0.
b) Se uma carga Q < 0 for colocada em P, qual a intensidade da força elétrica que vai
atuar nessa carga.
Dados do problema:
- Valor das cargas elétricas: +q;
- Distância entre as cargas: d;
- Constante eletrostática: k0.
Esquema do problema:
Como todas as cargas são positivas elas produzem um campo elétrico de afastamento no ponto
P, e como os valores das cargas são iguais, a intensidade do campo elétrico E de
cada carga será a mesma (Figura 1).
Solução:
a) Olhando para um plano vertical que passa por uma das cargas da base e pelo ponto
P
(Figura 2), temos que o campo elétrico, em módulo, vale
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{E=k_0\frac{q}{r^2}} \tag{I}
\end{gather}
\]
Esse campo elétrico deve ser decomposto nas direções paralela ao plano das cargas
EP, e normal ao plano
EN, desenhando o campo elétrico num
sistema de eixos coordenados e obtendo as suas componentes (Figura 3)
\[
\begin{gather}
E_{\small P}=E\operatorname{sen}\theta \tag{II-a}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
E_{\small N}=E\cos\theta \tag{II-b}
\end{gather}
\]
onde o ângulo θ, medido entre o vetor campo elétrico
\( \vec E \)
e a componente normal
\( {\vec E}_{\small N} \)
ao plano, é o mesmo ângulo medido entre a distância r da carga ao ponto P e a altura
d do centro do quadrado até o ponto (são ângulos opostos pelo vértice).
-
Campo elétrico paralelo ao plano
(\( {\vec E}_{\small P} \)):
Por simetria do problema, cada carga do quadrado vai gerar um campo elétrico de mesma intensidade em
P, assim temos quatro componentes paralelas
\( {\vec E}_{\small P} \)
nesse ponto (Figura 4-A). Olhando de cima (Figura 4-B) vemos que o campo elétrico gerado pelas
cargas em P se anulam dois a dois, ou pelo Método do Polígono para soma de vetores
(Figura 4-C), temos que estes quatro vetores campo elétrico formam uma poligonal fechada, portanto a
resultante do campo elétrico paralelo à base é nula.
\[
\begin{gather}
{\vec E}_{\small P}+{\vec E}_{\small P}+{\vec E}_{\small P}+{\vec E}_{\small P}=0 \\[5pt]
E_{\small P}-E_{\small P}+E_{\small P}-E_{\small P}=0
\end{gather}
\]
- Campo elétrico normal ao plano
(\( {\vec E}_{\small N} \)):
Para encontrarmos o valor da componente normal ao plano
\( {\vec E}_{\small N} \),
devemos encontrar o cosseno do ângulo θ em função da distância d, entre o centro do
quadrado da base e o ponto P. O cosseno de θ é calculado por
\[
\begin{gather}
\cos\theta=\frac{d}{r} \tag{III}
\end{gather}
\]
O comprimento da diagonal do quadrado da base pode ser encontrado usando-se o
Teorema de Pitágoras (Figura 5)
\[
\begin{gather}
h^2=d^2+d^2 \\[5pt]
h^2=2d^2 \\[5pt]
h=\sqrt{2d^2\;} \\[5pt]
h=d\sqrt{2\;} \tag{IV}
\end{gather}
\]
A diagonal h é dividida em dois segmentos de tamanhos
\( \frac{d\sqrt{2\;}}{2} \)
(Figura 6), usando-se o Teorema de Pitágoras podemos determinar r em função de d
\[
\begin{gather}
r^2=d^2+\left(\frac{d\sqrt{2\;}}{2}\right)^2 \\[5pt]
r^2=d^2+\frac{2d^2}{4} \\[5pt]
r^2=d^2+\frac{d^2}{2}
\end{gather}
\]
multiplicando e dividindo por 2 o primeiro termo do lado direito da equação
\[
\begin{gather}
r^2=\frac{2}{2}.d^2+\frac{d^2}{2} \\[5pt]
r^2=\frac{2d^2+d^2}{2} \\[5pt]
r^2=\frac{3d^2}{2} \\[5pt]
r=\sqrt{\frac{3d^2}{2}\;} \\[5pt]
r=d\sqrt{\frac{3}{2}\;} \\[5pt]
r=d\frac{\sqrt{3\;}}{\sqrt{2\;}}
\end{gather}
\]
multiplicando o numerador e o denominador por
\( \sqrt{2\;} \)
\[
\begin{gather}
r=d\frac{\sqrt{3\;}}{\sqrt{2\;}}\times\frac{\sqrt{2\;}}{\sqrt{2\;}} \\[5pt]
r=d\frac{\sqrt{6\;}}{2} \tag{V}
\end{gather}
\]
substituindo a equação (V) na equação (III) o cosseno de θ vale
\[
\begin{gather}
\cos\theta=\frac{d}{\dfrac{d\sqrt{6\;}}{2}} \\[5pt]
\cos\theta=\frac{2}{\sqrt{6\;}}
\end{gather}
\]
multiplicando o numerador e o denominador por
\( \sqrt{6\;} \)
\[
\begin{gather}
\cos\theta=\frac{2}{\sqrt{6\;}}\times\frac{\sqrt{6\;}}{\sqrt{6\;}} \\[5pt]
\cos\theta=\frac{2\sqrt{6\;}}{6}
\end{gather}
\]
Substituindo a equação (I) na equação (II-b) o campo elétrico normal ao plano no ponto P vale
\[
\begin{gather}
E_{\small N}=k_0\frac{q}{r^2}\cos\theta \tag{VI}
\end{gather}
\]
substituindo a equação (V) e o cosseno encontrado acima na equação (VI)
\[
\begin{gather}
E_{\small N}=k_0\frac{q}{\left(d\dfrac{\sqrt{6\;}}{2}\right)^2}\times\frac{2\sqrt{6\;}}{6} \\[5pt]
E_{\small N}=k_0\frac{q}{d^2\dfrac{6}{4}}\times\frac{2\sqrt{6\;}}{6} \\[5pt]
E_{\small N}=k_0\frac{q}{d^2}\frac{2\sqrt{6\;}}{6}.\frac{4}{6} \\[5pt]
E_{\small N}=k_0\frac{q}{d^2}\frac{8\sqrt{6\;}}{36} \\[5pt]
E_{\small N}=\frac{2\sqrt{6\;}}{9}k_0\frac{q}{d^2}
\end{gather}
\]
Por simetria a intensidade do campo elétrico no ponto P gerado pelas outras três cargas da base
é o mesmo, então a intensidade do campo elétrico resultante sobre em P será (Figura 7)
\[
\begin{gather}
E_{\small R}=4E_{\small N}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{E_{\small R}=\frac{8\sqrt{6\;}}{9}k_0\frac{q}{d^2}}
\end{gather}
\]
b) O módulo da força elétrica é dado por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{F_{\small E}=qE}
\end{gather}
\]
usando o resultado do item anterior e a carga dada,
Q < 0, a força elétrica sobre a
carga no ponto
P vale
\[
\begin{gather}
F_{\small E}=-Q\frac{8\sqrt{6\;}}{9}k_0\frac{q}{d^2}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{F_{\small E}=-{\frac{8\sqrt{6\;}}{9}}k_0\frac{Qq}{d^2}}
\end{gather}
\]
o sinal de negativo indica que a força elétrica possui sentido oposto ao do campo elétrico (Figura 8).
EN
