Exercício Resolvido de Campo Elétrico
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Quatro cargas positivas iguais a q estão localizadas sobre um plano horizontal nos vértices de um quadrado de lado d.
a) Encontrar a intensidade do campo elétrico num ponto P acima do centro do quadrado a uma distância igual a d. Admita que as cargas estão num meio onde a constante eletrostática vale k0.
b) Se uma carga Q < 0 for colocada em P, qual a intensidade da força elétrica que vai atuar nessa carga.


Dados do problema:
  • Valor das cargas elétricas:    +q;
  • Distância entre as cargas:    d;
  • Constante eletrostática:    k0.
Esquema do problema:

Como todas as cargas são positivas elas produzem um campo elétrico de afastamento no ponto P, e como os valores das cargas são iguais, a intensidade do campo elétrico E de cada carga será a mesma (Figura 1).
Figura 1

Solução

a) Olhando para um plano vertical que passa por uma das cargas da base e pelo ponto P (Figura 2), temos que o campo elétrico, em módulo, vale
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {E=k_{0}\frac{q}{r^{2}}} \tag{I} \end{gather} \]
Esse campo elétrico deve ser decomposto nas direções paralela ao plano das cargas EP, e normal ao plano EN, desenhando o campo elétrico num sistema de eixos coordenados e obtendo as suas componentes (Figura 3)
Figura 2
\[ \begin{gather} E_{P}=E\operatorname{sen}\theta \tag{II-a} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} E_{N}=E\cos \theta \tag{II-b} \end{gather} \]
Figura 3

onde o ângulo θ, medido entre o vetor campo elétrico \( \vec{E} \) e a componente normal \( {\vec{E}}_{N} \) ao plano, é o mesmo ângulo medido entre a distância r da carga ao ponto P e a altura d do centro do quadrado até o ponto (são ângulos opostos pelo vértice).
  • Campo elétrico paralelo ao plano (\( {\vec{E}}_{P} \)):
Por simetria do problema, cada carga do quadrado vai gerar um campo elétrico de mesma intensidade em P, assim temos quatro componentes paralelas \( {\vec{E}}_{P} \) nesse ponto (Figura 4-A). Olhando de cima (Figura 4-B) vemos que o campo elétrico gerado pelas cargas em P se anulam dois a dois, ou pelo Método do Polígono para soma de vetores (Figura 4-C), temos que estes quatro vetores campo elétrico formam uma poligonal fechada, portanto a resultante do campo elétrico paralelo à base é nula.
\[ \begin{gather} {\vec{E}}_{P}+{\vec{E}}_{P}+{\vec{E}}_{P}+{\vec{E}}_{P}=0\\ E_{P}-E_{P}+E_{P}-E_{P}=0 \end{gather} \]
Figura 4
  • Campo elétrico normal ao plano (\( {\vec{E}}_{N} \)):
Para encontrarmos o valor da componente normal ao plano \( {\vec{E}}_{N} \), devemos encontrar o cosseno do ângulo θ em função da distância d, entre o centro do quadrado da base e o ponto P. O cosseno de θ é calculado por
\[ \begin{gather} \cos \theta =\frac{d}{r} \tag{III} \end{gather} \]
O comprimento da diagonal do quadrado da base pode ser encontrado usando-se o Teorema de Pitágoras (Figura 5)
\[ \begin{gather} h^{2}=d^{2}+d^{2}\\ h^{2}=2d^{2}\\ h=\sqrt{2d^{2}\;}\\ h=d\sqrt{2\;} \tag{IV} \end{gather} \]
Figura 5

A diagonal h é dividida em dois segmentos de tamanhos \( \frac{d\sqrt{2\;}}{2} \) (Figura 6), usando-se o Teorema de Pitágoras podemos determinar r em função de d
\[ \begin{gather} r^{2}=d^{2}+\left(\frac{d\sqrt{2\;}}{2}\right)^{2}\\r^{2}=d^{2}+\frac{2d^{2}}{4}\\ r^{2}=d^{2}+\frac{d^{2}}{2} \end{gather} \]
Figura 6

multiplicando e dividindo por 2 o primeiro termo do lado direito da equação
\[ \begin{gather} r^{2}=\frac{2}{2}.d^{2}+\frac{d^{2}}{2}\\ r^{2}=\frac{2d^{2}+d^{2}}{2}\\ r^{2}=\frac{3d^{2}}{2}\\ r=\sqrt{\frac{3d^{2}}{2}\;}\\ r=d\sqrt{\frac{3}{2}\;}\\ r=d\frac{\sqrt{3\;}}{\sqrt{2\;}} \end{gather} \]
multiplicando o numerador e o denominador por \( \sqrt{2\;} \)
\[ \begin{gather} r=d\frac{\sqrt{3\;}}{\sqrt{2\;}}.\frac{\sqrt{2\;}}{\sqrt{2\;}}\\ r=d\frac{\sqrt{6\;}}{2} \tag{V} \end{gather} \]
substituindo a expressão (V) na expressão (III) o cosseno de θ vale
\[ \begin{gather} \cos \theta =\frac{d}{\dfrac{d\sqrt{6\;}}{2}}\\[5pt] \cos\theta =\frac{2}{\sqrt{6\;}} \end{gather} \]
multiplicando o numerador e o denominador por \( \sqrt{6\;} \)
\[ \begin{gather} \cos \theta=\frac{2}{\sqrt{6\;}}.\frac{\sqrt{6\;}}{\sqrt{6\;}}\\ \cos \theta=\frac{2\sqrt{6\;}}{6} \end{gather} \]
Substituindo a expressão (I) na expressão (II-b) o campo elétrico normal ao plano no ponto P vale
\[ \begin{gather} E_{N}=k_{0}\frac{q}{r^{2}}\cos \theta \tag{VI} \end{gather} \]
substituindo a expressão (V) e o cosseno encontrado acima na expressão (VI)
\[ \begin{gather} E_{N}=k_{0}\frac{q}{\left(d\dfrac{\sqrt{6\;}}{2}\right)^{2}}.\frac{2\sqrt{6\;}}{6}\\[5pt] E_{N}=k_{0}\frac{q}{d^{2}\dfrac{6}{4}}.\frac{2\sqrt{6\;}}{6}\\[5pt] E_{N}=k_{0}\frac{q}{d^{2}}\frac{2\sqrt{6\;}}{6}.\frac{4}{6}\\[5pt] E_{N}=k_{0}\frac{q}{d^{2}}\frac{8\sqrt{6\;}}{36}\\[5pt] E_{N}=\frac{2\sqrt{6\;}}{9}k_{0}\frac{q}{d^{2}} \end{gather} \]
Figura 7

Por simetria a intensidade do campo elétrico no ponto P gerado pelas outras três cargas da base é o mesmo, então a intensidade do campo elétrico resultante sobre em P será (Figura 7)
\[ E_{R}=4E_{N} \]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {E_{R}=\frac{8\sqrt{6\;}}{9}k_{0}\frac{q}{d^{2}}} \]

b) O módulo da força elétrica é dado por
\[ \bbox[#99CCFF,10px] {F_{E}=qE} \]
usando o resultado do item anterior e a carga dada, Q < 0, a força elétrica sobre a carga no ponto P vale
\[ F_{E}=-Q\frac{8\sqrt{6\;}}{9}k_{0}\frac{q}{d^{2}} \]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {F_{E}=-{\frac{8\sqrt{6\;}}{9}}k_{0}\frac{Qq}{d^{2}}} \]
Figura 8

o sinal de negativo indica que a força elétrica possui sentido oposto ao do campo elétrico (Figura 8).
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