Exercício Resolvido de Campo Elétrico
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A relação entre as cargas elétricas de duas esferas é 3/4 e a relação de seus raios 5/8. Determinar a relação entre as suas densidades de carga elétrica.
Dados do problema:
- Relação entre as cargas das esferas: \( \dfrac{q_{1}}{q_{2}}=\dfrac{3}{4} \);
- Relação entre os raios das esferas: \( \dfrac{r_{1}}{r_{2}}=\dfrac{5}{8} \).
A densidade superficial de carga elétrica σ é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\sigma =\frac{Q}{S}} \tag{I}
\end{gather}
\]
onde Q é a carga do corpo e S a área de sua superfície, da Geometria Espacial sabemos que a
área de uma esfera é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{S=4\pi r^{2}} \tag{II}
\end{gather}
\]
Substituindo a expressão (II) em (I) e escrevendo a expressão para as densidades de carga das
esferas 1 e 2
\[
\begin{gather}
\sigma_{1}=\frac{q_{1}}{4\pi r_{1}^{2}} \tag{III-a}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\sigma_{2}=\frac{q_{2}}{4\pi r_{2}^{2}} \tag{III-b}
\end{gather}
\]
Para encontrar a relação entre as densidades de carga elétrica dividimos a expressão (III-a) pela
expressão (III-b)
\[
\begin{gather}
\frac{\sigma_{1}}{\sigma_{2}}=\frac{\dfrac{q_{1}}{\cancel{4\pi} r_{1}^{2}}}{\dfrac{q_{2}}{\cancel{4\pi} r_{2}^{2}}}\\
\frac{\sigma_{1}}{\sigma_{2}}=\frac{q_{1}}{r_{1}^{2}}\frac{r_{2}^{2}}{q_{2}} \tag{IV}
\end{gather}
\]
Com os dados do problema podemos escrever a carga e o raio da esfera 1 em função da carga e do raio da esfera 2
\[
\begin{gather}
\frac{q_{1}}{q_{2}}=\frac{3}{4}\\
q_{1}=\frac{3}{4}q_{2} \tag{V}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\frac{r_{1}}{r_{2}}=\frac{5}{8}\\
r_{1}=\frac{5}{8}r_{2} \tag{VI}
\end{gather}
\]
substituindo as expressões (V) e (VI) na expressão (IV)
\[
\begin{gather}
\frac{\sigma_{1}}{\sigma_{2}}=\frac{\dfrac{3}{4}q_{2}}{\left(\dfrac{5}{8}r_{2}\right)^{2}}\frac{r_{2}^{2}}{q_{2}}\\[5pt]
\frac{\sigma_{1}}{\sigma_{2}}=\frac{\dfrac{3}{4}\cancel{q_{2}}}{\dfrac{25}{64}\cancel{r_{2}^{2}}}\;\frac{\cancel{r_{2}^{2}}}{\cancel{q_{2}}}\\[5pt]
\frac{\sigma_{1}}{\sigma_{2}}=\frac{\dfrac{3}{4}}{\dfrac{25}{64}}\\[5pt]
\frac{\sigma_{1}}{\sigma_{2}}=\frac{3}{4}.\frac{64}{25}
\end{gather}
\]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px]
{\frac{\sigma_{1}}{\sigma_{2}}=\frac{48}{25}}
\]
Observação: Como
\( \frac{\sigma_{1}}{\sigma_{2}}=1,92 \Rightarrow \sigma_{1}=1,92 \sigma_{2} \)
isto significa que a densidade de carga na esfera 1 é 1,92 vezes maior do que a densidade de carga da esfera 2.
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