A relação entre as cargas elétricas de duas esferas é 3/4 e a relação de seus raios 5/8. Determinar a
relação entre as suas densidades de carga elétrica.
Dados do problema:
- Relação entre as cargas das esferas: \( \dfrac{q_1}{q_2}=\dfrac{3}{4} \);
- Relação entre os raios das esferas: \( \dfrac{r_1}{r_2}=\dfrac{5}{8} \).
Solução:
A densidade superficial de carga elétrica σ é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\sigma=\frac{Q}{S}} \tag{I}
\end{gather}
\]
onde Q é a carga do corpo e S a área de sua superfície, da Geometria Espacial sabemos
que a área de uma esfera é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{S=4\pi r^2} \tag{II}
\end{gather}
\]
Substituindo a equação (II) em (I) e escrevendo a equação para as densidades de carga das
esferas 1 e 2
\[
\begin{gather}
\sigma_1=\frac{q_1}{4\pi r_1^2} \tag{III-a}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\sigma_2=\frac{q_2}{4\pi r_2^2} \tag{III-b}
\end{gather}
\]
Para encontrar a relação entre as densidades de carga elétrica dividimos a equação (III-a) pela
equação (III-b)
\[
\begin{gather}
\frac{\sigma_1}{\sigma_2}=\frac{\dfrac{q_1}{\cancel{4\pi}r_1^2}}{\dfrac{q_2}{\cancel{4\pi}r_2^2}} \\[5pt]
\frac{\sigma_1}{\sigma_2}=\frac{q_1}{r_1^2}\frac{r_2^2}{q_2} \tag{IV}
\end{gather}
\]
Com os dados do problema podemos escrever a carga e o raio da esfera 1 em função da carga e do raio da
esfera 2
\[
\begin{gather}
\frac{q_1}{q_2}=\frac{3}{4} \\[5pt]
q_1=\frac{3}{4}q_2 \tag{V}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\frac{r_1}{r_2}=\frac{5}{8} \\[5pt]
r_1=\frac{5}{8}r_2 \tag{VI}
\end{gather}
\]
substituindo as expressões (V) e (VI) na equação (IV)
\[
\begin{gather}
\frac{\sigma_1}{\sigma_2}=\frac{\dfrac{3}{4}q_2}{\left(\dfrac{5}{8}r_2\right)^2}\frac{r_2^2}{q_2} \\[5pt]
\frac{\sigma_1}{\sigma_2}=\frac{\dfrac{3}{4}\cancel{q_2}}{\dfrac{25}{64}\cancel{r_2^2}}\;\frac{\cancel{r_2^2}}{\cancel{q_2}} \\[5pt]
\frac{\sigma_1}{\sigma_2}=\frac{\dfrac{3}{4}}{\dfrac{25}{64}} \\[5pt]
\frac{\sigma_1}{\sigma_2}=\frac{3}{4}.\frac{64}{25}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{\frac{\sigma_1}{\sigma_2}=\frac{48}{25}}
\end{gather}
\]
Observação: Como
\( \frac{\sigma_1}{\sigma_2}=1,92 \Rightarrow \sigma_1=1,92 \sigma_2 \)
isto significa que a densidade de carga na esfera 1 é 1,92 vezes maior do que a densidade de carga da
esfera 2.
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