Exercício Resolvido de Termometira
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Pode-se medir a temperatura com um termômetro de mercúrio. Neste, a grandeza termométrica é o comprimento ℓ de uma coluna de capilar, medida a partir de uma origem comum. Verifica-se que ℓ =2,34 cm, quando o termômetro está em equilíbrio térmico com o gelo em fusão e ℓ = 12,34 cm quando o equilíbrio térmico é com água em ebulição (num ambiente em que a pressão atmosférica é 1 atm).
a) Determine a equação termométrica de tal termômetro;
b) Calcule o comprimento da coluna de mercúrio quando a temperatura é θ = 25 °C;
c) Calcule a temperatura do ambiente quando ℓ =8,84 cm.

Dados do problema:

  • Comprimento do capilar quando o termômetro está em equilíbrio térmico com o gelo em fusão:    ℓ1 = 2,34 cm;
  • Comprimento do capilar quando o termômetro está em equilíbrio térmico com água em ebulição:    ℓ2 = 12,34 cm.

Esquema do problema:

Figura 1

O problema não nos fornece as temperaturas do gelo em fusão e da água em ebulição, mas nos diz que o ambiente está a pressão atmosférica de 1 atm

  • Temperatura do gelo em fusão:    θ1 = 0 °C;
  • Temperatura da água em ebulição:    θ2 = 100 °C.

Solução:

a) Para encontrar a equação termométrica escrevemos

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {\frac{g-g_1}{g_2-g_1}=\frac{t-t_1}{t_2-t_1}} \end{gather} \]

onde a grandeza termométrica g para esse problema é o comprimento da coluna de mercúrio ℓ

\[ \begin{gather} \frac{\ell-\ell_1}{\ell_2-\ell_1}=\frac{\theta-\theta_1}{\theta_2-\theta_1} \end{gather} \]

substituindo os valores dados no problema

\[ \begin{gather} \frac{\ell-2,34}{12,34-2,34}=\frac{\theta-0}{100-0} \\[5pt] \frac{\ell-2,34}{10}=\frac{\theta }{100} \\[5pt] \theta=10\cancel 0\times\frac{\ell-2,34}{\cancel{10}} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {\theta=10(\ell-2,34)} \end{gather} \]

b) Para achar o comprimento da coluna de mercúrio vamos usar a equação encontrada acima, para θ = 25 ºC

\[ \begin{gather} 25=10(\ell-2,34) \\[5pt] 25=10\ell-10\times 2,34 \\[5pt] 10\ell=25+23,4 \\[5pt] \ell=\frac{48,4}{10} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {\ell=4,84\;\mathrm{cm}} \end{gather} \]

c) Para ℓ = 8,84 cm, usando a equação do item (a)

\[ \begin{gather} \theta=10(8,84-2,34) \\[5pt] \theta=10\times 8,84-10\times 2,34 \\[5pt] \theta=88,4-23,4 \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {\theta=65\;\mathrm{°C}} \end{gather} \]
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