Exercício Resolvido de Gases

Um gás está inicialmente a uma pressão de 2 atmosferas, volume de 4 litros e temperatura de 300 kelvins. A partir deste estado sua pressão aumenta a volume constante até uma pressão de 5 atmosferas, determine sua temperatura ao final desta transformação. Depois desta primeira transformação ele é expandido à temperatura constante até um volume de 8 litros, determine sua pressão ao final desta segunda transformação. A partir deste ponto o gás é aquecido à pressão constante até uma temperatura de 900 kelvins, determine o volume final do gás. Represente as transformações do gás num gráfico da pressão em função do volume p×V.

Solução:

Para as situações inicial e final da primeira transformação

Estado inicial	Estado final
pressão: p₀ = 2 atm	pressão: p₁ = 5 atm
volume: V₀ = 4 \( \ell \)	volume: V₁ = 4 \( \ell \)
temperatura: T₀ = 300 K	temperatura: T₁

Da Lei Geral dos Gases Perfeitos

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {\frac{p_iV_i}{T_i}=\frac{p_fV_f}{T_f}} \end{gather} \]

Como na transformação dada o volume se mantém constante V_i = V_f, temos uma transformação isométrica ou isovolumétrica ou isocórica e Lei Geral se reduz a Lei de Gay-Lussac

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {\frac{p_i}{T_i}=\frac{p_f}{T_f}} \end{gather} \]

substituindo os dados do problema

\[ \begin{gather} \frac{2}{300}=\frac{5}{T_1} \\[5pt] T_1=\frac{5\times 300}{2} \\[5pt] T_1=5\times 150 \end{gather} \]

\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {T_1=750\;\mathrm K} \end{gather} \]

Depois da primeira transformação o estado final do gás passa a ser o estado inicial da segunda transformação. Para as situações inicial e final da segunda transformação

Estado inicial	Estado final
pressão: p₁ = 5 atm	pressão: p₂
volume: V₁ = 4 \( \ell \)	volume: V₂ = 8 \( \ell \)
temperatura: T₁ = 750 K	temperatura: T₂ = 750 K

Como na transformação dada a temperatura se mantém constante (T_i = T_f) uma transformação isotérmica e a Lei Geral se reduz a Lei de Boyle-Mariotte

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {p_iV_i=p_fV_f} \end{gather} \]

substituindo os dados do problema

\[ \begin{gather} 5\times 4=p_28 \\[5pt] p_2=\frac{20}{8} \end{gather} \]

\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {p_2=2,5\;\mathrm{atm}} \end{gather} \]

Após a segunda transformação o estado final do gás passa a ser o estado inicial da terceira transformação. Para as situações inicial e final da terceira transformação

Estado inicial	Estado final
pressão: p₂ = 2,5 atm	pressão: p₃ = 2,5 atm
volume: V₂ = 8 \( \ell \)	volume: V₃
temperatura: T₂ = 750 K	temperatura: T₃ = 900 K

Como na transformação dada a pressão se mantém constante (p_i = p_f) temos uma transformação isobárica e a Lei Geral se reduz a Lei de Charles

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {\frac{V_i}{T_i}=\frac{V_f}{T_f}} \end{gather} \]

substituindo os dados do problema

\[ \begin{gather} \frac{8}{750}=\frac{V_3}{900} \\[5pt] v_3=\frac{8\times 900}{750} \end{gather} \]

dividindo o numerador e o denominador por 50

\[ \begin{gather} v_3=\frac{8\times 900:50}{750:50} \\[5pt] v_3=\frac{8\times 18}{15} \\[5pt] v_3=\frac{144}{15} \end{gather} \]

\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {V_3=9,6\;\mathrm{l}} \end{gather} \]

Com os dados obtidos no problema construímos o Gráfico 1, de A para B o gás sofre uma transformação isométrica ou isovolumétrica ou isocórica, de B para C uma transformação isotérmica e de C para D uma transformação isobárica.

Gráfico 1