Exercício Resolvido de Dilação
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Um recipiente possui volume interno de 1 litro a 20 °C, o recipiente é então aquecido até 100 °C. Determine o volume interno desse recipiente depois de aquecido sabendo que o coeficiente de dilatação linear do material é de 15.10−6 °C−1.


Dados do problema:
  • Volume interno inicial:    V0 = 1 ℓ;
  • Temperatura inicial:    ti = 20 °C;
  • Temperatura final:    tf = 100 °C;
  • Coeficiente de dilatação linear do recipiente:    α = 15.10−6°C−1.
Esquema do problema:

O problema é equivalente a um corpo construído do mesmo material que o recipiente e de mesmo volume interno V0 que a parte interna do recipiente (Figura 1-A). Quando o corpo assim construído é aquecido ele vai dilatar (Figura 1-B).

Figura 1

O corpo aquecido vai atingir um novo volume V após a dilatação (Figura 2-A)

Figura 2

O volume interno do recipiente aquecido vai ser o mesmo volume V do corpo que se dilatou (Figura 2-B).

Solução

Em primeiro lugar devemos converter o volume dado em litros para metros cúbicos usados no Sistema Internacional (S.I.)
\[ V=1\;\cancel{\ell}.\frac{1\;\text{m}^{3}}{1000\;\cancel{\ell}}=\frac{1}{1000}\;\text{m}^{3}=\frac{1}{10^{3}}\;\text{m}^{3}=1.10^{-3}\;\text{m}^{3} \]
O problema nos dá o coeficiente de dilatação linear do material e para o cálculo do aumento de volume precisamos do coeficiente de dilatação volumétrico que será
\[ \begin{gather} \gamma =3\alpha \\ \gamma =3.15.10^{-6}\\ \gamma =45.10^{-6}°\text{C}^{-1} \end{gather} \]
O volume do corpo, feito do mesmo material que o recipiente, depois de aquecido será
\[ \bbox[#99CCFF,10px] {\Delta V=\gamma V_{0}\Delta t} \]
\[ \begin{gather} V-V_{0}=\gamma V_{0}(t-t_{0})\\ V=V_{0}+\gamma V_{0}(t-t_{0})\\ V=V_{0}[1+\gamma (t-t_{0})]\\ V=1.10^{-3}[1+45.10^{-6}(100-20)]\\ V=1.10^{-3}[1+45.10^{-6}.80]\\ V=1.10^{-3}[1+3600.10^{-6}]\\ V=1.10^{-3}[1+0,0036]\\ V=1.10^{-3}.1,0036 \end{gather} \]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {V=1,004.10^{-3} \;\text{m}^{3}=1,004 \;\ell} \]
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