Exercício Resolvido de Propagação da Luz
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Uma lâmpada de dimensões desprezíveis está fixa no teto de uma sala cujo pé direito é de 3 m. Um disco opaco de 20 cm de diâmetro é suspenso a 75 cm do teto, de modo que suas faces sejam horizontais e seu centro está na mesma vertical da lâmpada. Calcule a área da sombra projetada pelo disco sobre o piso da sala.

Dados do problema:

  • Diâmetro do disco:    y = 20 cm;
  • Distância do disco á lâmpada:    p = 75 cm;
  • Distância da sombra à lâmpada:    p’ = 3 m.

Esquema do problema:

Figura 1

Solução:

Em primeiro lugar devemos converter a altura da sala dada em metros para centímetros, ao invés de converter todas as outras unidades para metros como se faz usualmente.

\[ \begin{gather} p'=3\;\mathrm{\cancel m}\times\frac{100\;\mathrm{cm}}{1\;\mathrm{\cancel m}}=300\;\mathrm{cm} \end{gather} \]

Para calcularmos a área da sombra temos que calcular em primeiro lugar o diâmetro dela, isto é obtido da equação

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {\frac{y'}{y}=\frac{p'}{p}} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \frac{y'}{20}=\frac{300}{75} \\[5pt] y'=\frac{20\times 300}{75} \\[5pt] y'=\frac{6000}{75} \\[5pt] y'=80\;\mathrm{cm} \end{gather} \]

O raio da sombra é metade do diâmetro

\[ \begin{gather} r=\frac{y'}{2} \\[5pt] r=\frac{80}{2} \\[5pt] r=40\;\mathrm{cm} \end{gather} \]

A área de um círculo é dada por

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {A=\pi r^2} \end{gather} \]

adotando π = 3,14, a área da sombra será de

\[ \begin{gather} A=3,14\times 40^2 \\[5pt] A=3,14\times 1600 \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {A=5024\;\mathrm{cm}^2} \end{gather} \]
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