Exercício Resolvido de Espelhos Planos

Uma pessoa de altura H acha-se defronte de um espelho plano vertical. Sendo h a distância do olho do observador ao solo, determine:
a) A menor altura d desse espelho para que o observador possa ver-se de corpo inteiro;
b) A distância r que a borda inferior do espelho está do solo;
c) A altura d do espelho e sua distância do solo dependem da distância do observador ao espelho?

Dados do problema:

Altura da pessoa (observador): H;
Distância do olho do observador ao solo: h.

Construção da imagem:

Desenhamos o objeto \( \overline{AB} \), de altura H, a uma distância x do espelho (Figura 1).

Figura 1

Do outro lado do espelho desenhamos a imagem \( \overline{A'B'} \), de mesma altura H, com a mesma distância x do espelho (Figura 2).

Figura 2

Traçamos uma linha do ponto O, olho do observador, até o ponto A', cabeça da imagem, traçamos uma outra linha do ponto O até o ponto B', pé da imagem (Figura 3).

Figura 3

Do cruzamento do segmento \( \overline{OA'} \) com a posição do espelho obtemos o ponto C e do cruzamento da reta \( \overline{OB'} \) obtemos o ponto D, assim o segmento \( \overline{CD} \) determina o tamanho do espelho (Figura 4).

Figura 4

Esquema do problema:

Figura 5

Solução

a) Para determinarmos o tamanho do espelho, vamos usar a semelhança entre dois triângulos, o triângulo ΔOCD de altura \( \overline{OG}=x \) e base \( \overline{CD}=d \) e o triângulo ΔOA'B' de altura \( \overline{OO'}=2x \) e base \( \overline{A'B'}=H \)

\[ \begin{gather} \frac{\overline{CD}}{\overline{A'B'}}=\frac{\overline{OG}}{\overline{OO'}}\\ \frac{d}{H}=\frac{x}{2x} \end{gather} \]

\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {d=\frac{H}{2}} \]

b) Para a determinação da distância da borda inferior do espelho ao solo, segmento \( \overline{DF}=r \) na figura, usaremos a semelhança entre os triângulos ΔB'DF com base \( \overline{{B'F}}=x \) e altura \( \overline{DF}=r \), e o triângulo ΔB'OB de base \( \overline{B'B}=2x \) e altura \( \overline{OB}=h \)

\[ \begin{gather} \frac{\overline{DF}}{\overline{OB}}=\frac{\overline{B'F}}{\overline{B'B}}\\ \frac{r}{h}=\frac{x}{2x} \end{gather} \]

\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {r=\frac{h}{2}} \]

c) Pelos resultados obtidos nos itens (a) e (b) vemos que o tamanho do espelho e sua altura do chão não dependem da distância do observador ao espelho. O tamanho do espelho (d) é diretamente proporcional à altura do observador (H) e a distância do espelho ao solo (r) é diretamente proporcional a distância dos olhos do observador ao solo (h).

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