Determinar a posição e altura da imagem conjugada por um espelho esférico de raio 60 cm, a um objeto de
altura 3 cm situado a 20 cm do vértice de um espelho côncavo.
Dados do problema:
- Raio de curvatura do espelho: R = 60 cm;
- Altura do objeto: o = 3 cm;
- Distância do objeto ao vértice do espelho: p = 20 cm.
Esquema do problema:
Adotamos um Referencial de Gauss, sendo positiva a direção horizontal de onde vem o raio de luz
(à esquerda, onde está o objeto) e para cima na direção vertical (Figura 1).
A distância do foco ao vértice, f, será a metade do raio de curvatura, R. Como o espelho é
côncavo, seu foco é positivo (f > 0)
\[
\begin{gather}
\bbox[background:#99CCFF; padding:10px; border-radius:10px;]
{f=\frac{R}{2}}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
f=\frac{60}{2} \\[5pt]
f=30\;\mathrm{cm} \tag{I}
\end{gather}
\]
Construção da imagem do espelho côncavo
Desenhando um primeiro raio de luz usando a propriedade dos espelhos esféricos, que diz que todo raio
de luz que incide paralelamente ao eixo principal é refletido passando pelo foco principal do espelho
(Figura 2).
Desenhando um segundo raio com a propriedade de que todo raio de luz que incide no vértice do espelho
reflete-se de forma simétrica ao eixo principal (Figura 3). Como não há cruzamento dos raios
refletidos na frente do espelho, vemos que eles se cruzam atrás do espelho, onde se forma a imagem.
Solução:
Aplicando a Equação dos Pontos Conjugados, calculamos a distância da imagem ao espelho, p'
\[
\begin{gather}
\bbox[background:#99CCFF; padding:10px; border-radius:10px;]
{\frac{1}{f}=\frac{1}{p}+\frac{1}{p'}}
\end{gather}
\]
usando a distância do objeto ao espelho, p, dada no problema, e a distância focal, f, obtida
na equação (I)
\[
\begin{gather}
\frac{1}{30}=\frac{1}{20}+\frac{1}{p'} \\[5pt]
\frac{1}{p'}=\frac{1}{30}-\frac{1}{20}
\end{gather}
\]
o Mínimo Múltiplo Comum (M.M.C.) entre 30 e 20 é 60
\[
\begin{gather}
\frac{1}{p'}=\frac{2-3}{60} \\[5pt]
\frac{1}{p'}=\frac{-1}{60}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[background:#FFCCCC; padding:10px; border-radius:10px;]
{p'=-60\;\mathrm{cm}}
\end{gather}
\]
Aplicando a Equação do Aumento Linear Transversal, calculamos o tamanho da imagem, i
\[
\begin{gather}
\bbox[background:#99CCFF; padding:10px; border-radius:10px;]
{\frac{i}{o}=-{\frac{p'}{p}}}
\end{gather}
\]
usando a distância do objeto ao espelho e a altura do objeto dados no problema, e a distância da
imagem ao espelho obtida acima
\[
\begin{gather}
\frac{i}{3}=-{\frac{(-60)}{20}} \\[5pt]
\frac{i}{3}=\frac{60}{20} \\[5pt]
\frac{i}{3}=3 \\[5pt]
i=3\times 3
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[background:#FFCCCC; padding:10px; border-radius:10px;]
{i=9\;\mathrm{cm}}
\end{gather}
\]
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