Exercício Resolvido de Espelhos Esféricos
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Determinar a posição e altura da imagem conjugada por um espelho esférico de raio 60 cm, a um objeto de altura 3 cm situado a 20 cm do vértice de um espelho côncavo.


Dados do problema:
  • Raio de curvatura do espelho:    R = 60 cm;
  • Altura do objeto:    o = 3 cm;
  • Distância do objeto ao vértice do espelho:    p = 20 cm.
Esquema do problema:

Adotamos um Referencial de Gauss, sendo positiva a direção horizontal de onde vem o raio de luz (à esquerda, onde está o objeto) e para cima na direção vertical (Figura 1).
Figura 1

A distância do foco ao vértice, f, será a metade do raio de curvatura, R, como o espelho é côncavo seu foco é positivo (f > 0)
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {f=\frac{R}{2}} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} f=\frac{60}{2}\\[5pt] f=30\;\mathrm{cm} \tag{I} \end{gather} \]
Construção da imagem do espelho côncavo

Desenhando um primeiro raio de luz usando a propriedade dos espelhos esféricos que diz que todo raio de luz que incide paralelamente ao eixo principal é refletido passando pelo foco principal do espelho (Figura 2).
Figura 2

Desenhando um segundo raio com a propriedade de que todo raio de luz que incide no vértice do espelho reflete-se de forma simétrica ao eixo principal (Figura 3). Como não há cruzamento dos raios refletidos na frente do espelho, vemos que eles se cruzam atrás do espelho onde se forma a imagem.
Figura 3

Figura 4

Solução

Aplicando a Equação dos Pontos Conjugados, calculamos a distância da imagem ao espelho, p'
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {\frac{1}{f}=\frac{1}{p}+\frac{1}{p'}} \end{gather} \]
usando a distância do objeto ao espelho, p, dada no problema e a distância focal, f, obtida na expressão (I)
\[ \begin{gather} \frac{1}{30}=\frac{1}{20}+\frac{1}{p'}\\[5pt] \frac{1}{p'}=\frac{1}{30}-\frac{1}{20} \end{gather} \]
o Mínimo Múltiplo Comum (M.M.C.) entre 30 e 20 é 60
\[ \begin{gather} \frac{1}{p'}=\frac{2-3}{60}\\[5pt] \frac{1}{p'}=\frac{-1}{60} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {p'=-60\;\mathrm{cm}} \end{gather} \]
Aplicando a Equação do Aumento Linear Transversal, calculamos o tamanho da imagem, i
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {\frac{i}{o}=-{\frac{p'}{p}}} \end{gather} \]
usando a distância do objeto ao espelho e a altura do objeto dados no problema e a distância da imagem ao espelho obtida acima
\[ \begin{gather} \frac{i}{3}=-{\frac{(-60)}{20}}\\[5pt] \frac{i}{3}=\frac{60}{20}\\[5pt] \frac{i}{3}=3\\[5pt] i=3\times 3 \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {i=9\;\mathrm{cm}} \end{gather} \]
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