Exercício Resolvido de Dinâmica
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No sistema da figura, o corpo B desliza sobre um plano horizontal sem atrito, ele está ligado através de um sistema de cordas e polias ideais a dois corpos A e C que se deslocam verticalmente. As massas de A, B e C valem respectivamente 5 kg, 2 kg e 3 kg. Determinar a aceleração do conjunto e a intensidade das forças de tensão nas cordas.


Dados do problema:
  • Massa do corpo A:    mA = 5 kg;
  • Massa do corpo B:    mB = 2 kg;
  • Massa do corpo C:    mC = 3 kg;
  • Aceleração da gravidade:    g = 9,8 m/s2.
Esquema do problema:

Adotamos um sistema de referência no mesmo sentido da aceleração em que o corpo A está descendo.
Figura 1

Fazendo um Diagrama de Corpo Livre temos as forças que atuam nos blocos.

  • Corpo A (Figura 2):
    • Direção vertical:
      • \( \vec P_{\small A} \): peso do corpo A;
      • \( \vec T_{\small {AB}} \): força de tensão na corda entre os blocos A e B.
Figura 2

  • Corpo B (Figura 3):
    • Direção vertical:
      • \( \vec P_{\small B} \): peso do corpo B;
      • \( \vec N_{\small B} \): força de reação normal da superfície sobre o corpo.
    • Direção horizontal:
      • \( \vec T_{\small {AB}} \): força de tensão na corda entre os blocos A e B;
      • \( \vec T_{\small {BC}} \): força de tensão na corda entre os blocos B e C.
Figura 3

  • Corpo C (Figura 4):
    • Direção vertical:
      • \( \vec P_{\small C} \): peso do corpo C;
      • \( \vec T_{\small {BC}} \): força de tensão na corda entre os blocos B e C.
Figura 4

Solução

Aplicando a 2.ª Lei de Newton
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {\vec F=m\vec a} \end{gather} \]
  • Corpo A:
Na direção horizontal não há forças atuando.
Na direção vertical
\[ \begin{gather} P_{\small A}-T_{\small {AB}}=m_{\small A}a \tag{I} \end{gather} \]
  • Corpo B:
Na direção vertical o peso e a normal se anulam, não há movimento vertical.
Na direção horizontal
\[ \begin{gather} T_{\small {AB}}-T_{\small {BC}}=m_{\small B}a \tag{II} \end{gather} \]
  • Corpo C:
Na direção horizontal não há forças atuando.
Na direção vertical
\[ \begin{gather} T_{\small {BC}}-P_{\small C}=m_{\small C}a \tag{III} \end{gather} \]
A força peso é dada por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {P=mg} \end{gather} \]
Para os corpos A e C
\[ \begin{gather} P_{\small A}=m_{\small A}g \tag{IV-a} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} P_{\small C}=m_{\small C}g \tag{IV-b} \end{gather} \]
substituindo a equação (IV-a) na equação (I)
\[ \begin{gather} m_{\small A}g-T_{\small {AB}}=m_{\small A}a \tag{V-a} \end{gather} \]
substituindo a equação (IV-b) na equação (III)
\[ \begin{gather} T_{\small {BC}}-m_{\small C}g=m_{\small C}a \tag{V-b} \end{gather} \]
As equações (II), (V-a) e (V-b) formam um sistema de três equações a três incógnitas (TAB, TBC e a), somando as três equações
\[ \begin{gather} \frac{ \left\{ \begin{array}{rr} m_{\small A}g-\cancel{T_{\small {AB}}} &=m_{\small A}a\\ \cancel{T_{\small {AB}}}-\cancel{T_{\small {BC}}}&=m_{\small B}a\\ \cancel{T_{\small {BC}}}-m_{\small C}g &=m_{\small C}a \end{array} \right.} {m_{\small A}g-m_{\small C}g=\left(m_{\small A}+m_{\small B}+m_{\small C}\right)a}\\[5pt] a=\frac{m_{\small A}g-m_{\small C}g}{m_{\small A}+m_{\small B}+m_{\small C}}\\[5pt] a=\frac{5\times 9,8-3\times 9,8}{5+2+3} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {a\approx 2\;\mathrm{m/s^2}} \end{gather} \]
Substituindo a massa do corpo A e a aceleração encontrada acima, na primeira equação do sistema, a tensão na corda será
\[ \begin{gather} m_{\small A}g-T_{\small {AB}}=m_{\small A}a\\[5pt] T_{\small {AB}}=m_{\small A}g-m_{\small A}a\\[5pt] T_{AB}=5\times 9,8-5\times 2 \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {T_{\small {AB}}=39\; \mathrm N} \end{gather} \]
Substituindo a massa do corpo C e a aceleração encontrada acima, na terceira equação do sistema, a tensão na corda será
\[ \begin{gather} T_{\small {BC}}-m_{\small C}g=m_{\small C}a\\[5pt] T_{\small {BC}}=m_{\small C}a+m_{\small C}g\\[5pt] T_{BC}=3\times 2+3\times 9,8 \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {T_{\small {BC}}\approx 35,4\; \mathrm N} \end{gather} \]
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