Exercício Resolvido de Dinâmica
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Em uma máquina de Atwood os dois corpos, apoiados sobre uma superfície horizontal, estão ligados por uma corda, de massa desprezível e inextensível que passa através de uma polia, sem inércia e sem atrito. Dadas as massas mA = 24 kg e mB = 40 kg. Determinar as acelerações dos corpos quando:
a) F = 400 N;
b) F = 720 N;
c) F = 1200 N.


Dados do problema:
  • Massa do corpo A:    mA = 24 kg;
  • Massa do corpo B:    mB = 40 kg;
  • Aceleração da gravidade:    g = 9,8 m/s2.
Esquema do problema:

Adotamos um sistema de referência orientado positivamente no mesmo sentido da força \( \vec F \).
A força aplicada em uma polia se divide igualmente entre os dois lados (Figura 1-A), assim a força de cada lado da polia será \( \frac{\vec F}{2} \).

Figura 1

Como a corda é ideal, de massa desprezível e inextensível, ela apenas transmite a força na polia para os corpos, assim a componente da força \( \vec F \) sobre cada corpo também será \( \frac{\vec F}{2} \) (Figura 1-B).

Fazendo um Diagrama de Corpo Livre temos as forças que atuam nos blocos

  • Corpo A (Figura 2):
    • \( \dfrac{\vec{F}}{2} \): força transmitida da polia;
    • \( {\vec P}_{\small A} \): peso do corpo A.
Figura 2

  • Corpo B (Figura 3):
    • \( \dfrac{\vec F}{2} \): força transmitida da polia;
    • \( {\vec P}_{\small B} \): peso do corpo B.
Figura 3

Solução

Aplicando a 2.ª Lei de Newton
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {\vec F=m\vec a} \end{gather} \]
  • Corpo A:
\[ \begin{gather} \frac{F}{2}-P_{\small A}=m_{\small A}a_{\small A} \tag{I} \end{gather} \]
  • Corpo B:
\[ \begin{gather} \frac{F}{2}-P_{\small B}=m_{\small B}a_{\small B} \tag{II} \end{gather} \]
A força peso é dada por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {P=mg} \end{gather} \]
para os corpos A e B
\[ \begin{gather} P_{\small A}=m_{\small A}g \tag{III} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} P_{\small B}=m_{\small B}g \tag{IV} \end{gather} \]
substituindo a equação (III) na equação (I)
\[ \begin{gather} \frac{F}{2}-m_{\small A}g=m_{\small A}a_{\small A} \tag{V} \end{gather} \]
substituindo a equação (IV) na equação (II)
\[ \begin{gather} \frac{F}{2}-m_{\small B}g=m_{\small B}a_{\small B} \tag{VI} \end{gather} \]

a) Para   \( F=400\;\text{N} \),   a aceleração do corpo A é dada pela equação (V)
\[ \begin{gather} a_{\small A}=\frac{\dfrac{400}{2}-24\times 9,8}{24}\\[5pt] a_{\small A}=-{\frac{35,2}{24}}\\[5pt] a_{\small A}=-1,5\;\mathrm{m/s^2} \end{gather} \]
Para o corpo B usando a equação (VI)
\[ \begin{gather} a_{\small B}=\frac{\dfrac{400}{2}-40\times 9,8}{40}\\[5pt] a_{\small B}=-{\frac{192}{40}}\\[5pt] a_{\small B}=-4,8\;\mathrm{m/s^2} \end{gather} \]
Como as acelerações são negativas os corpos devem se mover contra a orientação do referencial (para baixo), mas como estão sobre uma superfície eles permanecem em repouso e suas acelerações são nulas

\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {a_{\small A}=a_{\small B}=0} \end{gather} \]
Figura 4

b) Para   \( F=720\;\text{N} \),   a aceleração do corpo A será pela equação (V)
\[ \begin{gather} a_{\small A}=\frac{\dfrac{720}{2}-24\times 9,8}{24}\\[5pt] a_{\small A}=\frac{124,8}{24}\\[5pt] a_{\small A}=5,2\;\mathrm{m/s^2} \end{gather} \]
Para o corpo B usando a equação (VI)
\[ \begin{gather} a_{\small B}=\frac{\dfrac{720}{2}-40\times 9,8}{40}\\[5pt] a_{\small B}=-{\frac{32}{40}}\\[5pt] a_{\small B}=-0,8\;\mathrm{m/s^2} \end{gather} \]
O corpo A tem aceleração

\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {a_{\small A}=5,2\;\mathrm{m/s^2}} \end{gather} \]

Como a aceleração do corpo B é negativa este deve se mover contra a orientação do referencial (para baixo), mas como está sobre uma superfície ele permanece em repouso e sua aceleração será nula

\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {a_{\small B}=0} \end{gather} \]
Figura 5

c) Para   \( F=1200\;\text{N} \),   a aceleração do corpo A será pela equação (V)
\[ \begin{gather} a_{\small A}=\frac{\dfrac{1200}{2}-24\times 9,8}{24}\\[5pt] a_{\small A}=\frac{364,8}{24}\\[5pt] a_{\small A}=15,2\;\mathrm{m/s^2} \end{gather} \]
Para o corpo B usando a equação (VI)
\[ \begin{gather} a_{\small B}=\frac{\dfrac{1200}{2}-40\times 9,8}{40}\\[5pt] a_{\small B}=\frac{208}{40}\\[5pt] a_{\small B}=4,3\;\mathrm{m/s^2} \end{gather} \]
O corpo A tem aceleração

\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {a_{\small A}=15,2\;\mathrm{m/s^2}} \end{gather} \]

e o corpo B tem aceleração

\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {a_{\small B}=4,3\;\mathrm{m/s^2}} \end{gather} \]
Figura 6
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