Dois blocos, de massas 3 kg e 2 kg, são abandonados a partir do repouso no alto de um plano inclinado de
30° e percorrem uma distância de 40 m até a base do plano. Não existe atrito entre os blocos e o plano
inclinado. Determine qual dos blocos chegará ao final com a maior velocidade.
Dados do problema:
- Massa do bloco A: ma = 3 kg;
- Massa do bloco B: mb = 2 kg;
- Velocidade inicial do bloco A: v0a = 0;
- Velocidade inicial do bloco B: v0b = 0;
- Comprimento do plano inclinado: L = 40 m;
- Ângulo de inclinação do plano: θ = 30°;
- Aceleração da gravidade: g = 9,8 m/s2.
Esquema do problema:
Adotamos um sistema de referência apontado no sentido descendente do plano inclinado e com o eixo-x
paralelo ao plano (Figura 1).
Fazendo um Diagrama de Corpo Livre temos as forças que atuam nos blocos.
-
Bloco A (Figura 2-A):
- \( {\vec P}_a \): peso do bloco A;
- \( {\vec N}_a \): força de reação normal da superfície sobre o bloco A.
A força peso pode ser decomposta em duas, uma componente paralela ao eixo-
x,
\( {\vec P}_{a\small P} \),
e a outra normal ou perpendicular,
\( {\vec P}_{a\small N} \)
(Figura 2-A).
Desenhamos as forças em um sistema de eixos
xy (Figura 2-B)
-
Bloco B (Figura 3-A):
- \( {\vec P}_b \): peso do bloco B;
- \( {\vec N}_b \): força de reação normal da superfície sobre o bloco B.
A força peso pode ser decomposta em duas, uma componente paralela ao eixo-
x,
\( {\vec P}_{b\small P} \),
e a outra normal ou perpendicular,
\( {\vec P}_{b\small N} \)
(Figura 3-A).
Desenhamos as forças em um sistema de eixos
xy (Figura 3-B)
Solução:
Aplicando a 2.ª Lei de Newton
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\vec F=m\vec a}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
P_{a\small P}=m_aa_a \tag{I}
\end{gather}
\]
a componente paralela do peso é dada por
\[
\begin{gather}
P_{a\small P}=P_a\operatorname{sen}\theta \tag{II}
\end{gather}
\]
substituindo a equação (II) na equação (I)
\[
\begin{gather}
P_a\operatorname{sen}\theta=m_aa_a \tag{III}
\end{gather}
\]
a força peso é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{P=mg} \tag{IV}
\end{gather}
\]
para o bloco A
\[
\begin{gather}
P_a=m_ag \tag{V}
\end{gather}
\]
substituindo a equação (V) na equação (III)
\[
\begin{gather}
\cancel{m_a}g\operatorname{sen}\theta =\cancel{m_a}a_a \\[5pt]
a_a=g\operatorname{sen}30°
\end{gather}
\]
Da Trigonometria
\( \operatorname{sen}30°=\dfrac{1}{2} \)
\[
\begin{gather}
a_a=9,8\times\frac{1}{2} \\[5pt]
a_a=4,9\;\mathrm{m/s^2} \tag{VI}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
P_{b\small P}=m_ba_b \tag{VII}
\end{gather}
\]
a componente paralela do peso é dada por
\[
\begin{gather}
P_{b\small P}=P_b\operatorname{sen}\theta \tag{VIII}
\end{gather}
\]
substituindo a equação (VIII) na equação (VII)
\[
\begin{gather}
P_b\operatorname{sen}\theta=m_ba_b \tag{IX}
\end{gather}
\]
para o bloco B usando a equação (IV) para força peso
\[
\begin{gather}
P_b=m_bg \tag{X}
\end{gather}
\]
substituindo a equação (X) na equação (IX)
\[
\begin{gather}
\cancel{m_b}g\operatorname{sen}\theta =\cancel{m_b}a_b \\[5pt]
a_b=g\operatorname{sen}30° \\[5pt]
a_b=9,8\times\frac{1}{2} \\[5pt]
a_b=4,9\;\mathrm{m/s^2} \tag{XII}
\end{gather}
\]
Comparando as equações (VI) e (XII) vemos que os dois blocos possuem a mesma aceleração, e como ambos
partem com a mesma velocidade e percorrem a mesma distância (40 m), podemos concluir que os dois chegam
com a
mesma velocidade
ao final da trajetória.
Observação: Calculando a velocidade final.
Aplicando a
Equação de Torricelli
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{v^2=v_0^2+2a\Delta S}
\end{gather}
\]
Os dois blocos tem a mesma aceleração
(
aa =
ab =
a = 5 m/s
2),
a mesma velocidade inicial
(
v0a =
v0b =
v0 = 0)
e percorrem a mesma distância (
L = 40 m), a velocidade final será
\[
\begin{gather}
v^2=0^2+2\times 5\times 40 \\[5pt]
v=\sqrt{400\;} \\[5pt]
v=20\;\text{m/s}
\end{gather}
\]