Exercício Resolvido de Dinâmica
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Dois blocos, de massas 3 kg e 2 kg, são abandonados a partir do repouso no alto de um plano inclinado de 30° e percorrem uma distância de 40 m até a base do plano. Não existe atrito entre os blocos e o plano inclinado. Determine qual dos blocos chegará ao final com a maior velocidade.

 

Dados do problema:

  • Massa do bloco A:    ma = 3 kg;
  • Massa do bloco B:    mb = 2 kg;
  • Velocidade inicial do bloco A:    v0a = 0;
  • Velocidade inicial do bloco B:    v0b = 0;
  • Comprimento do plano inclinado:    L = 40 m;
  • Ângulo de inclinação do plano:    θ = 30°;
  • Aceleração da gravidade:    g = 9,8 m/s2.

Esquema do problema:

Adotamos um sistema de referência apontado no sentido descendente do plano inclinado e com o eixo-x paralelo ao plano (Figura 1).

Figura 1

Fazendo um Diagrama de Corpo Livre temos as forças que atuam nos blocos.

  • Bloco A (Figura 2-A):
    • \( {\vec P}_a \): peso do bloco A;
    • \( {\vec N}_a \): força de reação normal da superfície sobre o bloco A.
A força peso pode ser decomposta em duas, uma componente paralela ao eixo-x, \( {\vec P}_{a\small P} \), e a outra normal ou perpendicular, \( {\vec P}_{a\small N} \) (Figura 2-A).
Desenhamos as forças em um sistema de eixos xy (Figura 2-B)
Figura 2
  • Bloco B (Figura 3-A):
    • \( {\vec P}_b \): peso do bloco B;
    • \( {\vec N}_b \): força de reação normal da superfície sobre o bloco B.
A força peso pode ser decomposta em duas, uma componente paralela ao eixo-x, \( {\vec P}_{b\small P} \), e a outra normal ou perpendicular, \( {\vec P}_{b\small N} \) (Figura 3-A).
Desenhamos as forças em um sistema de eixos xy (Figura 3-B)
Figura 3

Solução:

Aplicando a 2.ª Lei de Newton

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {\vec F=m\vec a} \end{gather} \]
  • Bloco A:
    • Direção x:
\[ \begin{gather} P_{a\small P}=m_aa_a \tag{I} \end{gather} \]

a componente paralela do peso é dada por

\[ \begin{gather} P_{a\small P}=P_a\operatorname{sen}\theta \tag{II} \end{gather} \]

substituindo a equação (II) na equação (I)

\[ \begin{gather} P_a\operatorname{sen}\theta=m_aa_a \tag{III} \end{gather} \]

a força peso é dada por

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {P=mg} \tag{IV} \end{gather} \]

para o bloco A

\[ \begin{gather} P_a=m_ag \tag{V} \end{gather} \]

substituindo a equação (V) na equação (III)

\[ \begin{gather} \cancel{m_a}g\operatorname{sen}\theta =\cancel{m_a}a_a \\[5pt] a_a=g\operatorname{sen}30° \end{gather} \]
Da Trigonometria    \( \operatorname{sen}30°=\dfrac{1}{2} \)
\[ \begin{gather} a_a=9,8\times\frac{1}{2} \\[5pt] a_a=4,9\;\mathrm{m/s^2} \tag{VI} \end{gather} \]
  • Bloco B:
    • Direção x:
\[ \begin{gather} P_{b\small P}=m_ba_b \tag{VII} \end{gather} \]

a componente paralela do peso é dada por

\[ \begin{gather} P_{b\small P}=P_b\operatorname{sen}\theta \tag{VIII} \end{gather} \]

substituindo a equação (VIII) na equação (VII)

\[ \begin{gather} P_b\operatorname{sen}\theta=m_ba_b \tag{IX} \end{gather} \]

para o bloco B usando a equação (IV) para força peso

\[ \begin{gather} P_b=m_bg \tag{X} \end{gather} \]

substituindo a equação (X) na equação (IX)

\[ \begin{gather} \cancel{m_b}g\operatorname{sen}\theta =\cancel{m_b}a_b \\[5pt] a_b=g\operatorname{sen}30° \\[5pt] a_b=9,8\times\frac{1}{2} \\[5pt] a_b=4,9\;\mathrm{m/s^2} \tag{XII} \end{gather} \]

Comparando as equações (VI) e (XII) vemos que os dois blocos possuem a mesma aceleração, e como ambos partem com a mesma velocidade e percorrem a mesma distância (40 m), podemos concluir que os dois chegam com a mesma velocidade ao final da trajetória.

Observação: Calculando a velocidade final.
Aplicando a Equação de Torricelli
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {v^2=v_0^2+2a\Delta S} \end{gather} \]
Os dois blocos tem a mesma aceleração (aa = ab = a = 5 m/s2), a mesma velocidade inicial (v0a = v0b = v0 = 0) e percorrem a mesma distância (L = 40 m), a velocidade final será
\[ \begin{gather} v^2=0^2+2\times 5\times 40 \\[5pt] v=\sqrt{400\;} \\[5pt] v=20\;\text{m/s} \end{gather} \]
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