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Ejercicio Resuelto sobre Fuerza Eléctrica
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La distancia entre el protón y el electrón en un átomo de hidrógeno es de 5,3×10−11 m. Determinar:
a) La intensidad de la fuerza gravitatoria entre el protón y el electrón;
b) La intensidad de la fuerza eléctrica entre el protón y el electrón;
c) Comparar las dos fuerzas.
Considere los siguientes valores:
masa del protón: \( m_p=1,7\times 10^{-27}\;\mathrm{kg} \) ;
masa del electrón: \( m_e=9,1\times 10^{-31}\;\mathrm{kg} \) ;
Constante de Gravitación Universal \( G=6,67\times 10^{-11}\;\mathrm{\frac{N.m^2}{kg^2}} \) ;
carga del protón: \( q_p=1,6\times 10^{-19}\;\mathrm C \) ;
carga del electrón: \( q_e=-1,6\times 10^{-19}\;\mathrm C \) ;
Constante de Coulomb: \( k_e=9\times 10^9\;\mathrm{\frac{N.m^2}{C^2}} \) .

Datos del problema:

  • Distancia entre el protón y el electrón: \( r=5,3\times 10^{-11}\;\mathrm m \) ;
  • Masa del protón: \( m_p=1,7\times 10^{-27}\;\mathrm{kg} \) ;
  • Masa del electrón: \( m_e=9,1\times 10^{-31}\;\mathrm{kg} \) ;
  • Constante de Gravitación Universal: \( G=6,67\times 10^{-11}\;\mathrm{\frac{N.m^2}{kg^2}} \) ;
  • Carga del protón: \( q_p=1,6\times 10^{-19}\;\mathrm{C} \) ;
  • Carga del electrón: \( q_{e}=-1,6\times 10^{-19}\;\text{C} \) ;
  • Constante de Coulomb: \( k_e=9\times 10^9\;\mathrm{\frac{N.m^2}{C^2}} \) .

Solución:

a) Aplicando la Ley de la Gravitación Universal, el módulo de la fuerza gravitatoria se da por

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {F_{\small G}=G\frac{M\;m}{r^2}} \end{gather} \]

sustituyendo los datos para el protón y el electrón, la fuerza gravitatoria entre ellos será de

\[ \begin{gather} F_{\small G}=G\frac{m_p m_e}{r^2}\\[5pt] F_{\small G}=6,67\times 10^{-11}\times \frac{1,7\times 10^{-27}\times 9,1\times 10^{-31}}{\left(5,3\times 10^{-11}\right)^{2}}\\[5pt] F_{\small G}=\frac{103,4\times 10^{-69}\times 10^{22}}{28,1} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {F_{\small G}=3,7\times 10^{-47}\;\mathrm N} \end{gather} \]

b) Aplicando la Ley de Coulomb, el módulo de la fuerza eléctrica se da por

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {F_{\small E}=k_e\frac{|\;Q\;||\;q\;|}{r^2}} \end{gather} \]

sustituyendo los datos para el protón y el electrón, la fuerza eléctrica entre ellos será de

\[ \begin{gather} F_{\small E}=k_e\;\frac{|\;q_p\;||\;q_e\;|}{r^2}\\[5pt] F_{\small E}=9\times 10^9\times \frac{|\;1,6\times 10^{-19}\;\mathrm C\;|\times|\;-1,6\times 10^{-19}\;\mathrm C\;|}{\left(5,3\times 10^{-11}\right)^{2}}\\[5pt] F_{\small E}=\frac{23,4\times 10^{-29}\times 10^{22}}{28,1} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {F_{\small E}=8,3\times 10^{-8}\;\mathrm{N}} \end{gather} \]

c) Comparando las dos fuerzas

\[ \begin{gather} \frac{F_{\small E}}{F_{\small G}}=\frac{8,3\times 10^{-8}\;\mathrm{\cancel N}}{3,7\times 10^{-47}\;\mathrm{\cancel N}}\\[5pt] \frac{F_{\small E}}{F_{\small G}}=2,2\times 10^{-8}\times 10^{47}\\[5pt] F_{\small E}=2,2\times 10^{39}F_{\small G} \end{gather} \]

Este resultado significa que la fuerza eléctrica es 2,2×1039 veces mayor que la fuerza gravitatoria entre un protón y un electrón en el átomo de hidrógeno.

Observación: imagina una fuerza
2.200.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000
mayor que la otra. En muchas situaciones prácticas, la fuerza gravitatoria entre partículas puede ser despreciada en los cálculos en comparación con la fuerza eléctrica.
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