\[ \begin{gather} z'(t)=\frac dz dt=2\mathsf{i}\operatorname{e}^{\mathsf{i}t} \tag{I} \end{gather} \]

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {\int f(z)\;dz=\int f(z(t))z'(t)\;dt} \tag{II} \end{gather} \]

\[ \begin{gather} f(z(t))=\frac{2\operatorname{e}^{\mathsf{i}t}+2}{2\operatorname{e}^{\mathsf{i}t}} \tag{III} \end{gather} \]

\[ \begin{split} \int f(z)\;dz &=\int_{\pi}^{2\pi}\;\left(\frac{\cancel{2}\operatorname{e}^{\mathsf{i}t}+\cancel{2}}{\cancel{2}\cancel{\operatorname{e}^{\mathsf{i}t}}}\right)\left(2\mathsf{i}\cancel{\operatorname{e}^{\mathsf{i}t}}\right)\;dt=\\[5pt] &=2\mathsf{i}\int_{\pi}^{2\pi}\;\operatorname{e}^{\mathsf{i}t}+1\;dt=\\[5pt] &=2\mathsf{i}\left[\int_{\pi}^{2\pi}\;\operatorname{e}^{\mathsf{i}t}\;dt+\int_{0}^{\pi}\;dt\right]=\\[5pt] &=2\mathsf{i}\left[\frac{1}{\mathsf{i}}\;\left.\operatorname{e}^{\mathsf{i}t}\;\right|_{\pi}^{2\pi}+\left.t\;\right|_{\pi}^{2\pi}\right]=\\[5pt] &=2\mathsf{i}\left[\frac{1}{\mathsf{i}}\times\frac{\mathsf{i}}{\mathsf{i}}\;\left(\operatorname{e}^{\mathsf{i}2\pi}-\operatorname{e}^{\mathsf{i}\pi}\right)+\left(2\pi -\pi\right)\right]=\\[5pt] &=2\mathsf{i}\left[\frac{\mathsf{i}}{\mathsf{i}^{2}}\;\left[\left(\cancelto{1}{\cos2\pi} +\mathsf{i}\cancelto{0}{\sin 2\pi} \right)-\left(\cancelto{-1}{\cos \pi}+\mathsf{i}\cancelto{0}{\sin \pi} \right)\right]+\pi\right]=\\[5pt] &=2\mathsf{i}\left[\frac{\mathsf{i}}{-1}\;\left[\left(1+0\right)-\left(-1+0\right)\right]+\pi\right]=\\[5pt] &=2\mathsf{i}\left[-\mathsf{i}\;\left(1+1\right)+\pi\right]=\\[5pt] &=2\mathsf{i}\left[-2\mathsf{i}+\pi\right]=\\[5pt] &=-4\mathsf{i}^{2}+2\pi\mathsf{i}=\\[5pt] &=-4(-1)+2\pi\mathsf{i} \end{split} \]

\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {\int_{\pi}^{2\pi}f(z)\;dz=4+2\pi \mathsf{i}} \end{gather} \]