Exercice Résolu sur les Condensateurs
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PT-BR
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a) Quel doit être le rayon d'une sphère conductrice située dans le vide pour que sa capacité soit de 1 F?
b) En supposant que la planète Terre soit une sphère parfaite de rayon égal à 6400 km. Quelle est sa capacité électrique?
La Constante de Coulomb dans le vide: \( k_e=9\times 10^9\;\mathrm{\frac{N.m^2}{C^2}} \).
Données du problème :
- Capacité électrique du conducteur: C=1 F;
- Rayon de la Terre: RT=6400 km;
- Constante de Coulomb dans le vide: \( k_e=9\times 10^9\;\mathrm{\frac{N.m^2}{C^2}} \).
a) La capacité électrique, en fonction de la charge Q et du potentiel V, est donnée par
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{C=\frac{Q}{V}} \tag{I}
\end{gather}
\]
Le potentiel électrique d'un conducteur sphérique, de rayon R chargé avec une charge Q, est
donné par
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{V=k_e\frac{Q}{R}} \tag{II}
\end{gather}
\]
en remplaçant l'équation (II) dans l'équation (I)
\[
\begin{gather}
C=\frac{Q}{k_e\dfrac{Q}{R}}\\[5pt]
C=\frac{\cancel Q}{k_e}\frac{R}{\cancel Q}\\[5pt]
C=\frac{R}{k_e} \tag{III}\\[5pt]
R=Ck_e
\end{gather}
\]
en remplaçant les données du problème
\[
\begin{gather}
R=1\times 9\times 10^9
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{R=9\times 10^9\;\mathrm m}
\end{gather}
\]
Remarque: ce résultat montre qu'1 farad est une unité très grande, pour avoir une sphère
avec cette capacité elle devrait avoir un rayon de 9×106 km = 9000000 km.
b) Tout d'abord, convertissons le rayon de la Terre donné en kilomètres (km) en mètres (m) utilisés dans le Système International d'Unités (SI)
\[
\begin{gather}
R_{\small T}=6400\;\cancel{\mathrm{km}}\times\frac{1000\;\mathrm m}{1\;\cancel{\mathrm{km}}}=6400000\;\mathrm m=6,4\times 10^{6}\;\mathrm m
\end{gather}
\]
En utilisant l'équation (III) de la partie précédente
\[
\begin{gather}
C=\frac{R}{k_e}\\[5pt]
C=\frac{6,4\times 10^6}{9\times 10^9}\\[5pt]
C\approx 0,7\times 10^6\times 10^{-9}\\[5pt]
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{C\approx 0,7\times 10^{-3}\;\mathrm F=0,7\;\mathrm{mF}}
\end{gather}
\]
Remarque: comme 1 farad est une unité très grande, ce résultat nous montre pourquoi l'
utilisation de sous-multiples tels que milli (m) = 10−3,
micro (μ) = 10−6 ou pico (p) = 10−9 est courante.
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