Exercício Resolvido de Equação de Schrödinger
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Considere uma partícula de massa m, confinada entre os pontos, \( x=-{\frac{a}{2}} \) e \( x=\frac{a}{2} \), que pode se mover livremente nesta região ao longo do eixo-x. Suponha que as paredes que limitam esta região sejam completamente impenetráveis (poço de potencial infinito unidimensional) e a partícula está submetida a um potencial nulo. Para o.estado de menor energia da partícula a sua função de onda é dada por
\[ \Psi (x,t)= \left\{ \begin{gather} A\,\operatorname{sen} \frac{\pi x}{a}\;\text{e}^{-{\frac{iEt}{\hbar}}} \; , \qquad -\frac{a}{2} < x > \frac{a}{2}\\ \qquad \; 0 \; , \qquad\qquad x\leqslant-{\frac{a}{2}}\ \ \text{ou}\ \ x\geqslant \frac{a}{2} \end{gather} \right. \]
onde A é uma constante real e E a energia total para este estado, determine:
a) A energia total da partícula;
b) A constante A que normaliza a função de onda;
c) O valor esperado de x;
d) O valor esperado de p;
e) O valor esperado de x2;
f) O valor esperado de p2;
g) A incerteza na posição da partícula;
h) A incerteza no momento da partícula;
í) Se é válido o Princípio da Incerteza de Heisenberg.


Solução

a) Usando a Equação de Schrödinger
\[ \bbox[#99CCFF,10px] {-{\frac{\hbar ^{2}}{2m}}\frac{\partial ^{2}\Psi (x,t)}{\partial x^{2}}+V(x,t)\Psi (x,t)=i\hbar \frac{\partial \Psi (x,t)}{\partial t}} \]
O problema diz que no interior do poço a partícula está submetida a um potencial nulo (V(x,t)=0), portanto podemos reescrever a Equação de Schrödinge na forma
\[ -{\frac{\hbar ^{2}}{2m}}\frac{\partial^{2}\Psi (x,t)}{\partial x^{2}}=i\hbar \frac{\partial \Psi (x,t)}{\partial t} \tag{I} \]
Calculando as derivadas da função de onda em relação a x e t dentro do poço de potencial
\[ \begin{align} \, & \Psi (x,t)=A\;\operatorname{sen} \frac{\pi x}{a}\;\text{e}^{-{\frac{iEt}{\hbar}}}\\ \, & \frac{\partial \Psi(x,t)}{\partial x}=A\frac{\pi}{a}\,cos\frac{\pi x}{a}\,\operatorname{e}^{-{\frac{iEt}{\hbar}}} \tag{II} \\ \, & \frac{\partial ^{2}\Psi (x,t)}{\partial x^{2}}=-A\frac{\pi}{a}\,\left(\frac{\pi }{a}\,\operatorname{sen} \frac{\pi x}{a}\right)\,\operatorname{e}^{-{\frac{iEt}{\hbar}}}\text{=}\\ \, & \qquad\qquad\qquad \text{=}-\,\left(\frac{\pi}{a}\right)^{2}\underbrace{A\,\operatorname{sen} \frac{\pi x}{a}\,\operatorname{e}^{-{\frac{iEt}{\hbar}}}}_{\Psi (x,t)}=-\,\left(\frac{\pi}{a}\right)^{2}\Psi (x,t) \quad \tag{III}\\ \, & \frac{\partial\Psi (x,t)}{\partial t}=A\,\left(-{\frac{iE}{\hbar }}\right)\,\operatorname{sen}\frac{\pi x}{a}\,\operatorname{e}^{-{\frac{iEt}{\hbar}}}=-{\frac{iE}{\hbar}}\underbrace{A\,\operatorname{sen} \frac{\pi x}{a}\,\operatorname{e}^{-{\frac{iEt}{\hbar}}}}_{\Psi (x,t)}=-{\frac{iE}{\hbar }}\Psi (x,t) \tag{IV} \end{align} \]
substituindo as derivadas (III) e (IV) na expressão (I)
\[ \begin{gather} -{\frac{\hbar ^{2}}{2m}}\left[-\;\left(\frac{\pi}{a}\right)^{2}\Psi (x,t)\right]=i\hbar \left[-{\frac{iE}{\hbar }}\Psi(x,t)\right]\\ \frac{\hbar ^{2}}{2m}\;\left(\frac{\pi}{a}\right)^{2}\Psi (x,t)=-i^{2}E\Psi (x,t) \end{gather} \]
lembrando dos números complexos que i2 = −1
\[ \begin{gather} \frac{\hbar ^{2}}{2m}\;\left(\frac{\pi}{a}\right)^{2}\Psi (x,t)=-(-1)E\Psi (x,t)\\ \frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{\pi ^{2}}{a^{2}}\Psi (x,t)=E\Psi (x,t) \end{gather} \]
A última igualdade estará satisfeita se a energia tiver o valor de
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {E=\frac{\pi ^{2}\hbar ^{2}}{2ma^{2}}} \]

b) Para determinarmos a constante de normalização devemos ter
\[ \bbox[#99CCFF,10px] {\int \Psi^\ast\Psi d x =1} \]
onde Ψ* representa o Complexo Conjugado da função Ψ, invertendo o sinal da parte imaginária, temos \( \Psi^{\ast}(x,t)=A\,\operatorname{sen} \frac{\pi x}{a}\,\operatorname{e}^{\frac{iEt}{\hbar}} \) e o cálculo da constante será
\[ \begin{gather} \int_{-{\frac{a}{2}}}^{{\frac{a}{2}}}A\,\operatorname{sen} \frac{\pi x}{a}\,\operatorname{e}^{\frac{iEt}{\hbar }}A\,\operatorname{sen} \frac{\pi x}{a}\,\operatorname{e}^{-{\frac{iEt}{\hbar }}}d x =1\\ \int_{-{\frac{a}{2}}}^{{\frac{a}{2}}}A^{2}\,\operatorname{sen} ^{2}\frac{\pi x}{a}\,\operatorname{e}^{\frac{iEt}{\hbar}}\,\operatorname{e}^{-{\frac{iEt}{\hbar }}} d x =1\\ \int_{-{\frac{a}{2}}}^{{\frac{a}{2}}}A^{2}\,\operatorname{sen} ^{2}\frac{\pi x}{a}\,d x =1 \end{gather} \]
a constante A2 pode sair da integral e fazendo a substituição \( \operatorname{sen} ^{2}\frac{\pi x}{a}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos \frac{2\pi x}{a} \) a integral fica

Observação: lembrando das seguintes propriedades trigonométricas
\[ \begin{gather} \cos (a+a)=\cos a\cos a-\operatorname{sen}a\operatorname{sen}a\Rightarrow \cos 2a=\cos^{2}a-\operatorname{sen}^{2}a\\ \cos (a-a)=\cos a\cos a+\operatorname{sen}a\operatorname{sen}a\Rightarrow 1=\cos^{2}a+\text{sen}^{2}a \end{gather} \]
subtraindo a primeira expressão da segunda
\[ \begin{gather} \frac{ \begin{matrix} 1=\cos ^{2}a+\operatorname{sen}^{2}a \qquad\;\, \\ \cos 2a=\cos^{2}a-\operatorname{sen}^{2}a \qquad \text{(-)} \end{matrix}} {1-\cos 2a=2\operatorname{sen} ^{2}a}\\ \operatorname{sen} ^{2}a=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos 2a \end{gather} \]
\[ A^{2}\int_{-{\frac{a}{2}}}^{{\frac{a}{2}}}\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos\frac{2\pi x}{a}\right)\,d x =1 \tag{V} \]
colocando o fator \( \frac{1}{2} \) para fora da integral, e sendo a integral da diferença igual a diferença das integrais podemos escrever
\[ \frac{A^{2}}{2}\,\left[\int_{-{\frac{a}{2}}}^{{\frac{a}{2}}}\,d x -\int_{-{\frac{a}{2}}}^{{\frac{a}{2}}}\cos \frac{2\pi x}{a}\, d x \right]=1 \]
Integração de   \( \int_{-{\frac{a}{2}}}^{{\frac{a}{2}}}\,d x \)
\[ \int_{-{\frac{a}{2}}}^{{\frac{a}{2}}}\,d x =\left.x\,\right|_{\,-\frac{a}{2}}^{\,\frac{a}{2}}=\frac{a}{2}-\left(-{\frac{a}{2}}\right)=\frac{a}{2}+\frac{a}{2}=a \]

Integração de   \( \int _{-{\frac{a}{2}}}^{{\frac{a}{2}}}\cos \frac{2\pi x}{a}\,d x \)

Fazendo a mudança de variável
\[ \begin{align} \, & u=\frac{2\pi x}{a}\\ \, & \frac{d u}{d x}=\frac{2\pi }{a}\Rightarrow d x =\frac{a}{2\pi} \end{align} \]
Fazendo a mudança dos extremos de integração

para \( x=\frac{a}{2} \) temos \( u=\frac{\cancel{2}\pi}{\cancel{a}}.\frac{\cancel{a}}{\cancel{2}}\Rightarrow u=\pi \)
para \( x=-{\frac{a}{2}} \) temos \( u=\frac{\cancel{2}\pi}{\cancel{a}}.\left(-{\frac{\cancel{a}}{\cancel{2}}}\right)\Rightarrow u=-\pi \)
\[ \begin{gather} \int _{-{\frac{a}{2}}}^{{\frac{a}{2}}}\cos \frac{2\pi x}{a}\,d x =\int _{-\pi }^{\pi }\cos u\frac{a}{2\pi}\,\mathit{du}=\frac{a}{2\pi }\,\int _{-\pi }^{\pi}\cos u\,\mathit{du}=\frac{a}{2\pi }\,\left.\operatorname{sen}\right|_{\,-\pi}^{\,\pi }\text{=}\\ \text{=}\frac{a}{2\pi }\,\left[\operatorname{sen}\pi -\operatorname{sen}(-\pi )\right]=\frac{a}{2\pi }[0-0]=\frac{a}{2\pi}.0=0 \end{gather} \]

Substituindo o resultado das duas integrais na expressão (V)
\[ \begin{gather} \frac{A^{2}}{2}\,[a+0]=1\\ \frac{A^{2}}{2}\,a=1\\ A^{2}=\frac{2}{a} \end{gather} \]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {A=\sqrt{\,\frac{2}{a}\,}} \]

c) O valor esperado de x é dado por
\[ \bbox[#99CCFF,10px] {\text{<}x\text{>=}\int \Psi^{\text{*}} \hat{x} \Psi d x} \]
onde \( \hat{x} \) é o operador posição dado por \( \hat{x}=x \)
\[ \begin{gather} \text{<}x\text{>=}\int_{-{\frac{a}{2}}}^{{\frac{a}{2}}}A\,\operatorname{sen} \frac{\pi x}{a}\,\operatorname{e}^{\frac{iEt}{\hbar }}xA\,\operatorname{sen} \frac{\pi x}{a}\,\operatorname{e}^{-{\frac{iEt}{\hbar }}}d x \\ \text{<}x\text{>=}\int_{-{\frac{a}{2}}}^{{\frac{a}{2}}}A^{2}x\,\operatorname{sen} ^{2}\frac{\pi x}{a}\,\underbrace{\operatorname{e}^{\frac{iEt}{\hbar}}\,\operatorname{e}^{-{\frac{iEt}{\hbar}}}}_{1}d x \\ \text{<}x\text{>=}\int_{-{\frac{a}{2}}}^{{\frac{a}{2}}}A^{2}x\,\operatorname{sen} ^{2}\frac{\pi x}{a}\,d x \end{gather} \]
a constante A2 pode sair da integral
\[ \text{<}x\text{>=}A^{2}\int_{-{\frac{a}{2}}}^{{\frac{a}{2}}}x\,\operatorname{sen} ^{2}\frac{\pi x}{a}\,d x \]
Integração de   \( \int _{-{\frac{a}{2}}}^{{\frac{a}{2}}}x\,\operatorname{sen} ^{2}\frac{\pi x}{a}\,d x \)

A função x é uma função ímpar, a função \( \operatorname{sen} ^{2}\frac{\pi x}{a} \) é uma função par, uma função ímpar multiplicada por uma função par resulta numa função ímpar que integrada num intervalo simétrico é zero, portanto
\[ \int_{-{\frac{a}{2}}}^{{\frac{a}{2}}}x\,\operatorname{sen} ^{2}\frac{\pi x}{a}\,d x=0 \]
\[ \text{<}x\text{>=}A^{2}.0 \]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {\text{<}x\text{>}=0} \]

d) O valor esperado de p é dado por
\[ \bbox[#99CCFF,10px] {\text{<}p\text{>=}\int \Psi^{\text{*}}\hat{p}\Psi d x } \]
onde \( hat{p} \) é o operador momento dado por \( \hat{p}=-i\hbar \frac{\partial }{\partial x} \)
\[ \text{<}p\text{>=}\int_{-{\frac{a}{2}}}^{{\frac{a}{2}}}\Psi^{\text{*}}\left(-i\hbar\frac{\partial}{\partial x}\right)\Psi d x \]
colocado o fator constante \( -i \hbar \) para fora da integral e aplicando a derivada parcial à função &Psi
\[ \text{<}p\text{>=}-i\hbar \int_{-{\frac{a}{2}}}^{{\frac{a}{2}}}\Psi ^{\text{*}}\frac{\partial \Psi}{\partial x}d x \]
Utilizando o valor de Ψ* e a primeira derivada de Ψ obtida em (II)
\[ \begin{gather} \text{<}p\text{>=}-i\hbar \int_{-{\frac{a}{2}}}^{{\frac{a}{2}}}A\,\operatorname{sen} \frac{\pi x}{a}\,\operatorname{e}^{\frac{iEt}{\hbar }}\,A\frac{\pi}{a}\,\cos\frac{\pi x}{a}\,\operatorname{e}^{-{\frac{iEt}{\hbar}}}\,d x \\ \text{<}p\text{>=}-i\hbar\int _{-{\frac{a}{2}}}^{{\frac{a}{2}}}A\left(A\frac{\pi}{a}\right)\,\operatorname{sen} \frac{\pi x}{a}\,\cos\frac{\pi x}{a}\,\underbrace{\operatorname{e}^{\frac{iEt}{\hbar}}\,\operatorname{e}^{-{\frac{iEt}{\hbar}}}}_{1}\,d x \\ \text{<}p\text{>=}-i\hbar\int _{-{\frac{a}{2}}}^{{\frac{a}{2}}}A^{2}\frac{\pi}{a}\,\operatorname{sen}\frac{\pi x}{a}\,\cos\frac{\pi x}{a}\,d x \end{gather} \]
colocando a constante \( A^{2}\frac{\pi}{a} \) para fora da integral
\[ \text{<}p\text{>=}-i\hbar A^{2}\frac{\pi }{a}\int_{-{\frac{a}{2}}}^{{\frac{a}{2}}}\,\operatorname{sen} \frac{\pi x}{a}\,\cos\frac{\pi x}{a}\,d x \]
Integração de   \( \int _{-{\frac{a}{2}}}^{{\frac{a}{2}}}\,\operatorname{sen} \frac{\pi x}{a}\,\cos\frac{\pi x}{a}\,d x \)

A função \( \operatorname{sen} \frac{\pi x}{a} \) é uma função par, a função \( \cos\frac{\pi x}{a} \) é uma função ímpar, uma função par multiplicada por uma função ímpar resulta numa função ímpar que integrada num intervalo simétrico é zero
\[ \int _{-{\frac{a}{2}}}^{{\frac{a}{2}}}\,\operatorname{sen} \frac{\pi x}{a}\,\cos\frac{\pi x}{a}\,d x =0 \]
\[ \text{<}p\text{>=}-i\hbar A^{2}\frac{\pi }{a}.0 \]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {\text{<}p\text{>=}0} \]

e) Para o cálculo do valor esperado de x2
\[ \bbox[#99CCFF,10px] {\text{<}x^{2}\text{>=}\int \Psi^{\text{*}}{\hat{x}}^{2}\Psi d x} \]
onde \( \hat{x}^{2} \) é o operador do quadrado da posição dado por \( \hat{x}^{2}=x^{2} \)
\[ \begin{gather} \text{<}x^{2}\text{>=}\int_{-{\frac{a}{2}}}^{{\frac{a}{2}}}A\,\operatorname{sen} \frac{\pi x}{a}\,\operatorname{e}^{\frac{iEt}{\hbar }}x^{2}A\,\operatorname{sen} \frac{\pi x}{a}\,\operatorname{e}^{-{\frac{iEt}{\hbar }}}\mathit{dx}\\ \text{<}x\text{>=}\int_{-{\frac{a}{2}}}^{{\frac{a}{2}}}A^{2}x^{2}\,\operatorname{sen} ^{2}\frac{\pi x}{a}\,\underbrace{\operatorname{e}^{\frac{iEt}{\hbar}}\,\operatorname{e}^{-{\frac{iEt}{\hbar}}}}_{1}\mathit{dx}\\ \text{<}x^{2}\text{>=}\int_{-{\frac{a}{2}}}^{{\frac{a}{2}}}A^{2}x^{2}\,\operatorname{sen} ^{2}\frac{\pi x}{a}\,d x \end{gather} \]
a constante A2 pode sair da integral
\[ \text{<}x^{2}\text{>=}A^{2}\int_{-{\frac{a}{2}}}^{{\frac{a}{2}}}x^{2}\,\operatorname{sen} ^{2}\frac{\pi x}{a}\,d x \]
Integração de   \( \int_{-{\frac{a}{2}}}^{{\frac{a}{2}}}x^{2}\,\operatorname{sen} ^{2}\frac{\pi x}{a}\,d x \)

Fazendo a substituição \( \operatorname{sen}^{2}\frac{\pi x}{a}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos \frac{2\pi x}{a} \) usada no item (b)
\[ \int_{-{\frac{a}{2}}}^{{\frac{a}{2}}}x^{2}\,\operatorname{sen} ^{2}\frac{\pi x}{a}\,d x =\int_{-{\frac{a}{2}}}^{{\frac{a}{2}}}x^{2}\,\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos\frac{2\pi x}{a}\right)\,d x =\int_{-{\frac{a}{2}}}^{{\frac{a}{2}}}\,\left(\frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{2}}{2}\cos\frac{2\pi x}{a}\right)\,d x \]
como a integral da soma é a soma das integrais, e colocando o fator \( \frac{1}{2} \) em evidência
\[ \int _{-{\frac{a}{2}}}^{{\frac{a}{2}}}x^{2}\,\operatorname{sen} ^{2}\frac{\pi x}{a}\,d x =\frac{1}{2}\,\left(\int_{-{\frac{a}{2}}}^{{\frac{a}{2}}}x^{2}\,d x -\int_{-{\frac{a}{2}}}^{{\frac{a}{2}}}x^{2}\cos \frac{2\pi x}{a}\,d x \right) \tag{VI} \]
  • Integral de   \( \int_{-{\frac{a}{2}}}^{{\frac{a}{2}}}x^{2}\,d x \)
\[ \begin{align} \, & \int_{-{\frac{a}{2}}}^{{\frac{a}{2}}}x^{2}\,d x =\left.\frac{x^{3}}{3}\,\right|_{\,-\frac{a}{2}}^{\,\frac{a}{2}}=\frac{1}{3}.\left[\left(\frac{a}{2}\right)^{3}-\left(-{\frac{a}{2}}\right)^{3}\right]\text{=}\\ \, & \text{=}\frac{1}{3}.\left[\frac{a^{3}}{8}-\left(-{\frac{a^{3}}{8}}\right)\right]=\frac{1}{3}.\left[\frac{a^{3}}{8}+\frac{a^{3}}{8}\right]\text{=}\\ \, & \text{=}\frac{1}{3}.\left[\frac{2a^{3}}{8}\right]=\frac{a^{3}}{12} \tag{VII} \end{align} \]
  • Cuidado com a segunda integral
A integral de, \( \int _{-{\frac{a}{2}}}^{{\frac{a}{2}}}x^{2}\cos \frac{2\pi x}{a}\,d x \) pode ser resolvida usando-se Integração por Partes, \( \int u v\text{'}=u v-\int u\text{'} v \), escolhendo
\[ \begin{align} u=x^{2} \qquad & v'=\cos \frac{2\pi x}{a}\\ u'=2x \qquad & v=\frac{a}{2\pi}\,\operatorname{sen}\frac{2\pi x}{a} \end{align} \]

\[ \begin{align} \, & \int_{-{\frac{a}{2}}}^{{\frac{a}{2}}}x^{2}\cos\frac{2\pi x}{a}\,d x=\left[x^{2}\frac{a}{2\pi }\cos \frac{2\pi x}{a}\right]_{\,-\frac{a}{2}}^{\,\frac{a}{2}}-\int_{-{\frac{a}{2}}}^{{\frac{a}{2}}}\left(2x\right)\left(\frac{a}{2\pi}\operatorname{sen}\frac{2\pi x}{a}\right)\,d x \text{=}\\ \, & \text{=}\frac{a}{2\pi}\,\left[\left(\frac{a}{2}\right)^{2}\cos \left(\frac{\cancel{2}\pi}{\cancel{a}}.\frac{\cancel{a}}{\cancel{2}}\right)-\left(-{\frac{a}{2}}\right)^{2}\cos\left(\frac{\cancel{2}\pi}{\cancel{a}}.\left(-{\frac{\cancel{a}}{\cancel{2}}}\right)\right)\right]-\frac{a}{\pi}\int_{-{\frac{a}{2}}}^{{\frac{a}{2}}}x\operatorname{sen}\frac{2\pi x}{a}\,d x \text{=}\\ \, & \text{=}\frac{a}{2\pi}\,\left[\frac{a^{2}}{4}\cos (\pi )-\frac{a^{2}}{4}\cos (-\pi)\right]-\frac{a}{\pi }\int_{-{\frac{a}{2}}}^{{\frac{a}{2}}}x\operatorname{sen}\frac{2\pi x}{a}\,d x \text{=}\\ \, & \text{=}\frac{a}{2\pi}\,\left[\frac{a^{2}}{4}(-1)-\frac{a^{2}}{4}(-1)\right]-\frac{a}{\pi}\int_{-{\frac{a}{2}}}^{{\frac{a}{2}}}x\operatorname{sen}\frac{2\pi x}{a}\,d x \text{=}\\ \, & \text{=}\frac{a}{2\pi}\,\left[-{\frac{a^{2}}{4}}+\frac{a^{2}}{4}\right]-\frac{a}{\pi }\int_{-{\frac{a}{2}}}^{{\frac{a}{2}}}x\operatorname{sen}\frac{2\pi x}{a}\,d x\text{=}\\ \, & \text{=}\frac{a}{2\pi}.0-\frac{a}{\pi }\int_{-{\frac{a}{2}}}^{{\frac{a}{2}}}x\operatorname{sen}\frac{2\pi x}{a}\,d x \text{=}\\ \, & \text{=}-\frac{a}{\pi }\int_{-{\frac{a}{2}}}^{{\frac{a}{2}}}x\text{sen}\frac{2\pi x}{a}\,d x \tag{VII} \end{align} \]
A segunda integral, \( \int _{-{\frac{a}{2}}}^{{\frac{a}{2}}}x\operatorname{sen}\frac{2\pi x}{a}\,d x \) deve ser resolvida novamente usando-se Integração por Partes, escolhendo
\[ \begin{align} u=x \qquad & v'=\operatorname{sen}\frac{2\pi x}{a}\\ u'=1 \qquad & v=-{\frac{a}{2\pi }}\,\cos \frac{2\pi x}{a} \end{align} \]

\[ \begin{align} \, &\int_{-{\frac{a}{2}}}^{{\frac{a}{2}}}x\operatorname{sen}\frac{2\pi x}{a}\,d x \text{=}\left[-x\frac{a}{2\pi }\cos \frac{2\pi x}{a}\right]_{\,-\frac{a}{2}}^{\,\frac{a}{2}}-\int_{-{\frac{a}{2}}}^{{\frac{a}{2}}}\left(1\right)\left(-{\frac{a}{2\pi}\cos \frac{2\pi x}{a}}\right)\,d x\text{=}\\ \, & \text{=}-\frac{a}{2\pi}\,\left[\frac{a}{2}\cos \left(\frac{\cancel{2}\pi}{\cancel{a}}.\frac{\cancel{a}}{\cancel{2}}\right)-\left(-{\frac{a}{2}}\right)\cos \left(\frac{\cancel{2}\pi}{\cancel{a}}.\left(-{\frac{\cancel{a}}{\cancel{2}}}\right)\right)\right]-\frac{a}{2\pi }\int_{-{\frac{a}{2}}}^{{\frac{a}{2}}}\cos \frac{2\pi x}{a}\,d x \text{=}\\ \, & \text{=}-\frac{a}{2\pi}\left\{\,\left[\frac{a}{2}\cos (\pi )+\frac{a}{2}\cos (-\pi)\right]-\left[\frac{a}{2\pi }\operatorname{sen}\frac{2\pi x}{a}\right]_{-{\frac{a}{2}}}^{\,\frac{a}{2}}\right\}\text{=}\\ \, & \text{=}-\frac{a}{2\pi}\left\{\,\left[\frac{a}{2}(-1)+\frac{a}{2}(-1)\right]-\frac{a}{2\pi}\,\left[\operatorname{sen}\left(\frac{2\pi}{a}\frac{a}{2}\right)-\operatorname{sen}\left(\frac{2\pi}{a}\left(\frac{-{a}}{2}\right)\right)\right]\right\}\text{=}\\ \, & \text{=}-\frac{a}{2\pi}\left\{\,\left[-{\frac{a}{2}}-\frac{a}{2}\right]-\frac{a}{2\pi}\,\left[\operatorname{sen}(\pi )-\operatorname{sen}(-\pi)\right]\right\}\text{=}\\ \, & \text{=}-\frac{a}{2\pi}\left\{\,\left[-a\right]-\frac{a}{2\pi}\,\left[0-0\right]\right\}\text{=}\\ \, & \text{=}\frac{a^{2}}{2\pi} \tag{IX} \end{align} \]
substituindo a expressão (IX) na integral em (VIII)
\[ \int_{-{\frac{a}{2}}}^{{\frac{a}{2}}}x^{2}\cos \frac{2\pi x}{a}\,d x=\frac{-{a}}{\pi }.\frac{a^{2}}{2\pi}=-{\frac{a^{3}}{2\pi ^{2}}} \tag{X} \]
substituindo as expressões (X) e (VII) na integral (VI)
\[ \int _{-{\frac{a}{2}}}^{{\frac{a}{2}}}x^{2}\,\cos ^{2}\frac{\pi x}{a}\,d x =\frac{1}{2}\,\left[\left(\frac{a^{3}}{12}\right)+\left(-{\frac{a^{3}}{2\pi^{2}}}\right)\right]=\frac{a^{3}}{4\pi ^{2}}\left(\frac{\pi^{2}}{6}-1\right) \]

Substituindo o valor da integral obtida acima e o valor da constante A do item (b) o valor esperado de x2 será
\[ \begin{gather} \text{<}x^{2}\text{>=}\left(\sqrt{\,\frac{2}{a}\,}\right)^{2}\frac{a^{3}}{4\pi^{2}}\left(\frac{\pi ^{2}}{6}-1\right)\\ \text{<}x^{2}\text{>=}\frac{2}{a}\frac{a^{3}}{4\pi^{2}}\left(\frac{\pi^{2}}{6}-1\right) \end{gather} \]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {\text{<}x^{2}\text{>=}\frac{a^{2}}{2\pi^{2}}\left(\frac{\pi ^{2}}{6}-1\right)} \]

f) O valor esperado de p2 é dado por
\[ \bbox[#99CCFF,10px] {\text{<}p^{2}\text{>=}\int \Psi^{\text{*}}{\hat{p}}^{2}\Psi d x} \]
onde \( \hat{p} \) é o quadrado do operador momento dado por
\[ {\hat{p}}^{2}=\left(-i\hbar \frac{\partial }{\partial x}\right)^{2}=i^{2}\hbar ^{2}\frac{\partial ^{2}}{\partial x^{2}}=-\hbar ^{2}\frac{\partial ^{2}}{\partial x^{2}} \]
\[ \text{<}p^{2}\text{>=}\int \Psi^{\text{*}}\,\left(-\hbar ^{2}\frac{\partial ^{2}}{\partial x^{2}}\right)\,\Psi d x \]
colocado a constante \( -\hbar^{2} \) para fora da integral e aplicando a derivada parcial à função Ψ
\[ \text{<}p^{2}\text{>=}-\hbar ^{2}\int_{-{\frac{a}{2}}}^{{\frac{a}{2}}}\Psi ^{\text{*}}\,\frac{\partial^{2}\,\Psi }{\partial x^{2}}d x \]
Utilizando o valor de Ψ* e a segunda derivada de Ψ obtida em (III)
\[ \begin{gather} \text{<}p^{2}\text{>=}-\hbar^{2}\int _{-{\frac{a}{2}}}^{{\frac{a}{2}}}\Psi^{\text{*}}\,\left[-\,\left(\frac{\pi }{a}\right)^{2}\Psi\right]\,d x \\ \text{<}p^{2}\text{>=}-\hbar ^{2}\int_{-{\frac{a}{2}}}^{{\frac{a}{2}}}-\,\left(\frac{\pi}{a}\right)^{2}\,\Psi ^{\text{*}}\,\Psi \,d x \end{gather} \]
colocando a constante \( -\,\left(\frac{\pi }{a}\right)^{2} \) para fora da integral
\[ \text{<}p^{2}\text{>=}\hbar ^{2}\,\left(\frac{\pi}{a}\right)^{2}\int _{-{\frac{a}{2}}}^{{\frac{a}{2}}}\,\Psi^{\text{*}}\,\Psi \,d x \]
a integral, \( \int _{-{\frac{a}{2}}}^{{\frac{a}{2}}}\,\Psi ^{\text{*}}\,\Psi\,d x \) , representa a probabilidade de se encontrar a partícula em qualquer ponto dentro do poço, e como visto no item (b) é igual a um
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {\text{<}p^{2}\text{>=}\left(\frac{\hbar \pi}{a}\right)^{2}} \]

g) A incerteza na posição da partícula é dada por
\[ \bbox[#99CCFF,10px] {\Delta x^{2}=\text{<}x^{2}\text{>}-\text{<}x\text{>}^{2}} \]
usando os resultados obtidos nos itens (c) e (e) para <x> e <x2> respectivamente
\[ \Delta x^{2}=\frac{a^{2}}{2\pi ^{2}}\,\left(\frac{\pi^{2}}{6}-1\right)-0^{2} \]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {\Delta x=\sqrt{\,\frac{a^{2}}{2\pi ^{2}}\,\left(\frac{\pi^{2}}{6}-1\right)\,}} \]

h) A incerteza no momento da partícula é dada por
\[ \bbox[#99CCFF,10px] {\Delta p^{2}=\text{<}p^{2}\text{>}-\text{<}p\text{>}^{2}} \]
usando os resultados obtidos nos itens (d) e (f) para p e p2 respectivamente
\[ \Delta p^{2}=\left(\frac{\hbar \pi}{a}\right)^{2}-0^{2} \]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {\Delta p=\sqrt{\,\left(\frac{\hbar \pi }{a}\right)^{2}\,}} \]

i) O Princípio da Incerteza de Heisenberg nos diz que
\[ \bbox[#99CCFF,10px] {\Delta x\Delta p\ge \frac{\hbar }{2}} \]
substituindo os valores das incertezas na posição e no momento, obtidos acima
\[ \begin{gather} \sqrt{\,\frac{a^{2}}{2\pi^{2}}\,\left(\frac{\pi^{2}}{6}-1\right)\,}\sqrt{\,\left(\frac{\hbar \pi }{a}\right)^{2}\,}\ge\frac{\hbar }{2}\\ \sqrt{\,\frac{a^{2}}{2\pi^{2}}\,\left(\frac{\pi^{2}}{6}-1\right)\,\left(\frac{\hbar \pi }{a}\right)^{2}\,}\ge\frac{\hbar }{2}\\ \sqrt{\,\frac{\cancel{a^{2}}}{2\cancel{\pi^{2}}}\,\left(\frac{\pi^{2}}{6}-1\right)\,\frac{\hbar^{2}\cancel{\pi^{2}}}{\cancel{a^{2}}}\,}\ge \frac{\hbar}{2}\\ \sqrt{\,\frac{\hbar^{2}}{2}\,\left(\frac{\pi^{2}}{6}-1\right)\,}\ge \frac{\hbar }{2}\\ \cancel{\hbar}\,\sqrt{\,\frac{1}{2}\,\left(\frac{\pi ^{2}}{6}-1\right)\,}\ge\frac{\cancel{\hbar}}{2}\\ \sqrt{\,\frac{1}{2}\,\left(\frac{\pi^{2}}{6}-1\right)\,}\ge \frac{1}{2} \end{gather} \]
substituindo os valores
\[ \begin{gather} \sqrt{\,\frac{1}{2}.\left(\frac{3,14^{2}}{6}-1\right)\,}\ge\frac{1}{2}\\ 0,57\ge 0,50 \end{gather} \]
e assim verificamos que o Princípio da Incerteza de Heisenberg é válido.
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