Exercício Resolvido de Radiação de Corpo Negro
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Mostre que a constante entre a radiância espectral R(ν) e a densidade de energia ρ(ν) é c/4.
Solução
A energia por unidade de volume com frequência entre (ν, ν+dν) é dada por
\[
\begin{gather}
\rho (\nu)\,d\nu =\frac{E}{V}
\end{gather}
\]
Considerando a emissão de um ponto P no interior do corpo (Figura 1 em corte), a energia emitida a
partir deste ponto através de um ângulo sólido dΩ será de
\[
\begin{gather}
\frac{E}{V}=\rho (\nu)\,d\nu \,d\Omega \tag{I}
\end{gather}
\]
Sendo o ângulo sólido definido como
\[
\begin{gather}
d\Omega =\operatorname{sen}\theta \,d\theta \,d\varphi \tag{II}
\end{gather}
\]
Como a radiação é isotrópica, ela é emitida igualmente em todas as direções, a fração desta energia que
se propaga em direção ao orifício do corpo por unidade de ângulo sólido vale (Figura 2)
\[
\begin{gather}
\frac{E}{V}=\frac{\text{ângulo sólido atravessado pela radiação}}{\text{ângulo sólido total}}=\rho (\nu )\,d\nu \frac{d\Omega }{\Omega _{T}} \tag{III}
\end{gather}
\]
Figura 2
Observação: Um ângulo sólido completo vale 4π esterradianos, correspondente a uma esfera
de raio unitário centrada no ponto de onde a radiação se espalha.
Substituindo a expressão (II) na expressão (III), obtemos a energia em um volume
\[
\begin{gather}
E=\frac{\rho (\nu)\,d\nu \operatorname{sen}\theta \,d\theta \,d\varphi }{4\pi}\,V \tag{IV}
\end{gather}
\]
A área do orifício igual a A, a projeção desta área na direção da radiação vinda de P
vale Acos θ (Figura 3-A). Como a radiação se propaga com a velocidade da luz c, num
intervalo de tempo Δ t, ela se desloca uma distância cΔt, esta é a altura
do cilindro que contém a radiação vinda de P, e seu volume será
\[
\begin{gather}
V=\underbrace{A\,\cos \theta}_{\text{área da base}} \,\underbrace{c\,\Delta t}_{\text{altura}} \tag{V}
\end{gather}
\]
substituindo a expressão (V) na expressão (IV)
\[
\begin{gather}
E=\frac{A\,\cos \theta \,c\,\Delta t\,\rho (\nu)\,d\nu \, \operatorname{sen} \theta \,d\theta \,d\varphi}{4\pi} \tag{VI}
\end{gather}
\]
A radiância espectral é definida como a energia em radiação com frequência entre (ν, ν+dν) por unidade de área por unidade de tempo
\[
\begin{gather}
R(\nu )\,d\nu =\frac{E}{A\Delta t} \tag{VII}
\end{gather}
\]
substituindo a expressão (VI) na expressão (VII)
\[
\begin{gather}
R(\nu )\,d\nu =\frac{1}{A\Delta t}\frac{A\cos \theta \,c\,\Delta t\,\rho (\nu )\,d\nu \operatorname{sen}\theta \,d\theta \,d\varphi }{4\pi }
\end{gather}
\]
A radiação chega ao orifício igualmente de todas as direções (Figura 3-B, com o orifício ampliado),
integrando sobre os ângulos φ, variando de 0 a 2π, uma volta do orifício, e θ variando de 0 a
\( \frac{\pi}{2} \)
do eixo-z até o plano xy do orifício
\[
\begin{gather}
R(\nu)\,d\nu =\frac{1}{A\Delta t}\int_{{0}}^{{2\pi}}\int_{{0}}^{{\frac{\pi}{2}}}{\frac{A\, \cos \theta \,c\, \Delta t\,\rho (\nu)\,d\nu \operatorname{sen}\theta \,d\theta \,d\varphi}{4\pi}}
\end{gather}
\]
como a área do orifício A, a velocidade da luz c, o intervalo de tempo Δt, a
densidade de energia ρ(ν)dν e o denominador 4π não dependem das
variáveis de integração θ e φ elas podem sair da integral, então podemos reescrever a integral como
\[
\begin{gather}
R(\nu)\,d\nu =\frac{1}{A\Delta t}\frac{A\,c\,\Delta t\,\rho (\nu)\,d\nu}{4\pi}\int_{{0}}^{{2\pi}}\,d\varphi \,\int_{{0}}^{{\frac{\pi}{2}}}{{\,\cos \theta \operatorname{sen}\theta \;d\theta}}\\[5pt]
R(\nu)\,d\nu =\frac{\,c\,\rho (\nu)\,d\nu }{4\pi}\int_{{0}}^{{2\pi}}\,d\varphi\,\int_{{0}}^{{\frac{\pi}{2}}}{{\,\cos \theta \operatorname{sen}\theta \,d\theta}}
\end{gather}
\]
Integração de \( {\large\int}_{{0}}^{{2\pi }}\;d\varphi \)
\[
\begin{gather}
\int_{{0}}^{{2\pi }}\,d\varphi =\left.\varphi \,\right|_{\,0}^{\,2\pi}=2\pi -0=2\pi
\end{gather}
\]
Integração de \( {\large\int}_{{0}}^{{\frac{\pi}{2}}}{{\,\cos\theta \operatorname{sen}\theta \,d\theta}} \)
fazendo a mudança de variável
para \( \theta =0 \)
temos \( u=\operatorname{sen}0\Rightarrow u=0 \)
para \( \theta =\frac{\pi}{2} \)
temos \( u=\operatorname{sen}\frac{\pi}{2}\Rightarrow u=1 \)
fazendo a mudança de variável
\[
\begin{array}{l}
u=\operatorname{sen}\theta \\
\dfrac{du}{d\theta}=\cos\theta \Rightarrow d\theta=\dfrac{du}{\cos\theta }
\end{array}
\]
fazendo a mudança dos extremos de integração
para \( \theta =0 \)
temos \( u=\operatorname{sen}0\Rightarrow u=0 \)
para \( \theta =\frac{\pi}{2} \)
temos \( u=\operatorname{sen}\frac{\pi}{2}\Rightarrow u=1 \)
\[
\begin{split}
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\cos\theta\operatorname{sen}\theta \,d\theta} &\Rightarrow \int_{0}^{1}{\cos\theta \,u}\,\frac{du}{\cos\theta}\Rightarrow \int_{0}^{1}{u\,du}\Rightarrow\\[5pt]
&\Rightarrow \left.\frac{u^{2}}{2}\,\right|_{\,0}^{\,1}\Rightarrow \frac{1^{2}}{2}-\frac{0^{2}}{2}\frac{1}{2}-0=\frac{1}{2}
\end{split}
\]
\[
\begin{gather}
R(\nu )\,d\nu =\frac{c\rho (\nu )\,d\nu }{\cancel{4}\cancel{\pi}}\,\cancel{2}\cancel{\pi} \,\frac{1}{2}\\[5pt]
R(\nu )\,d\nu =\frac{c}{4}\,\rho (\nu )\,d\nu
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{R(\nu)=\frac{c}{4}\,\rho (\nu)}
\end{gather}
\]
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