Exercício Resolvido de Dinâmica
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Um corpo de massa m está preso a uma corda inextensível, de massa desprezível e gira num plano horizontal constituindo um pêndulo cônico. Sendo L o comprimento da corda e g a aceleração local da gravidade, determine a velocidade tangencial que o corpo deve ter para que o ângulo θ que a corda forma com a vertical seja 90°.


Dados do problema:
  • Massa do corpo:    m;
  • Comprimento da corda:    L;
  • Aceleração local da gravidade:    g.
Esquema do problema:

A massa m está sob a ação da força peso (P) e da tração (T) na corda. Como o corpo realiza um movimento circular ele está sob a ação da aceleração centrípeta (acp), apontada radialmente para o centro da trajetória. O ângulo entre a tração na corda e a vertical passando pelo corpo será θ, mesmo ângulo que temos entre a corda L e a vertical, pois estes ângulos são alternos internos (Figura 1).
Figura 1

Solução

Desenhando as forças que atuam no corpo num sistema de eixos coordenados (Figura 2) e aplicando a 2.ª Lei de Newton
\[ \bbox[#99CCFF,10px] {\mathbf{F}=m\mathbf{a}} \]
\[ \begin{gather} \mathbf{T}-\mathbf{P}=m\mathbf{a}\\ {\mathbf{T}}_{x}+{\mathbf{T}}_{y}-m\mathbf{g}=m\mathbf{a}\\ T_{x}\;\mathbf{i}+T_{y}\;\mathbf{j}-mg\;\mathbf{j}=m(a_{x}\;\mathbf{i}+a_{y}\;\mathbf{j})\\ T_{x}\;\mathbf{i}+T_{y}\;\mathbf{j}-mg\;\mathbf{j}=ma_{x}\;\mathbf{i}+ma_{y}\;\mathbf{j} \end{gather} \]
onde Tx e ax são as componentes da tração e da aceleração na direção i e Ty e ay são as componentes da tração e da aceleração na direção j.

Figura 2
Separando as componentes:
  • Direção i:
\[ \begin{gather} T_{x}=ma_{x} \tag{I} \end{gather} \]
o módulo da componente Tx é dado por
\[ \begin{gather} T_{x}=T\operatorname{sen}\theta \tag{II} \end{gather} \]
e a componente da aceleração ax é a aceleração centrípeta (acp) responsável pelo corpo fazer a curva, substituindo esta aceleração e a expressão (II) na expressão (I)
\[ \begin{gather} T\operatorname{sen}\theta =ma_{cp} \tag{III} \end{gather} \]
  • Direção j:
\[ \begin{gather} T_{y}-mg=ma_{y} \tag{IV} \end{gather} \]
o módulo da componente Ty é dado por
\[ \begin{gather} T_{y}=T\cos \theta \tag{V} \end{gather} \]
com não existe movimento nesta direção a componente da aceleração é nula (ay = 0), substituindo esta aceleração e a expressão (V) na expressão (IV)
\[ \begin{gather} T\cos \theta -mg=m.0\\ T\cos \theta -mg=0\\ T\cos \theta=mg \tag{VI} \end{gather} \]
Dividindo a expressão (III) pela expressão (VI)
\[ \begin{gather} \frac{\cancel{T}\operatorname{sen}\theta}{\cancel{T}\cos \theta}=\frac{\cancel{m}a_{cp}}{\cancel{m}g}\\ \operatorname{tg}\theta=\frac{a_{cp}}{g}\\ a_{cp}=g\operatorname{tg}\theta \tag{VII} \end{gather} \]
O módulo da aceleração centrípeta é dada por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {a_{cp}=\frac{v^{2}}{r}} \tag{VIII} \end{gather} \]
substituindo a expressão (VIII) na expressão (VII)
\[ \begin{gather} \frac{v^{2}}{R}=g\operatorname{tg}\theta\\ v^{2}=Rg\operatorname{tg}\theta \\ v=\left(Rg\operatorname{tg}\theta\right)^{\frac{1}{2}} \tag{IX} \end{gather} \]
Da figura 3 podemos escrever o raio (R) da trajetória descrita pelo corpo como
\[ \begin{gather} \operatorname{sen}\theta=\frac{R}{L}\\ R=L\operatorname{sen}\theta \tag{X} \end{gather} \]
substituindo a expressão (X) na expressão (IX)
\[ \begin{gather} v=\left(gL\operatorname{sen}\theta \operatorname{tg}\theta\right)^{\frac{1}{2}} \tag{XI} \end{gather} \]
Figura 3

Queremos saber a velocidade para a qual o ângulo será \( \theta =90°=\dfrac{\pi}{2} \), para este ângulo o valor da tangente da expressão (XI) tende ao infinito
\[ \lim_{\theta \to \frac{\pi }{2}}v=\lim _{\theta \to \frac{\pi}{2}}\left(gL\operatorname{sen}\theta \operatorname{tg}\theta\right)^{\frac{1}{2}}=\left(gL\operatorname{sen}\frac{\pi}{2}\operatorname{tg}\frac{\pi}{2}\right)^{\frac{1}{2}}=\left(gL.1.\infty\right)^{\frac{1}{2}}=\infty \]

Observação: Na prática o ângulo nunca chega a 90°, pois para isso seria preciso uma velocidade infinita, por mais rápido que se gire o corpo maior será o ângulo que ele forma com a vertical, no entanto nunca ficará perfeitamente horizontal.
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