Exercício Resolvido de Dinâmica

Um sistema é formado por um corpo de massa m1, suspenso verticalmente, ligado a um corpo de massa m², apoiado sobre um plano inclinado de um ângulo α, que por sua vez está ligado a um corpo de massa m₃, apoiado sobre um plano inclinado de um ângulo β. A ligação entre os corpos é feita por cordas inextensíveis de massas desprezíveis e através de polias ideais sem atrito. Sabendo que m₁ = 2m₂, pergunta-se, qual deve ser a razão das massas m₂ para m₃ de tal modo que o sistema desça com aceleração constante a.

Dados do problema:

Massa do corpo 1: m₁;
Massa do corpo 2: m₂;
Massa do corpo 3: m₃;
Razão entre as massas 1 e 2: m₁ = 2m₂;
Ângulo do plano inclinado do corpo 2: α;
Ângulo do plano inclinado do corpo 3: β.

Esquema do problema:

Isolando os corpos e pesquisando as forças em cada um deles

Bloco 1 (Figura 1):

P₁: força peso;
T₁₂: tração na corda entre os corpos 1 e 2.

Figura 1

Bloco 2 (Figura 2-A):

P₂: peso do bloco 2;
N₂: reação normal do plano sobre o bloco 2;
T₁₂: tração na corda entre os blocos 1 e 2;
T₂₃: tração na corda entre os blocos 2 e 3.

Adotamos um sistema de referência xy com eixo-x na direção do plano inclinado e sentido descendente. A força peso pode ser decomposta em duas, uma componente paralela ao eixo-x (P_2P) e a outra normal ou perpendicular (P_2N). Da Figura 2-B vemos que a força peso é perpendicular ao plano horizontal, o ângulo entre o plano inclinado e o plano horizontal é &lapha;, como os ângulos internos de um triângulo devem somar π o ângulo entre a força peso e a componente paralela deve ser \( \displaystyle \alpha +\gamma +\frac{\pi}{2}=\pi \Rightarrow \gamma =\pi -\alpha-\frac{\pi}{2}\Rightarrow \gamma =\frac{\pi}{2}-\alpha \).

\[ \alpha +\gamma +\frac{\pi}{2}=\pi \Rightarrow \gamma =\pi -\alpha-\frac{\pi}{2}\Rightarrow \gamma =\frac{\pi}{2}-\alpha \]

Figura 2

As componentes do peso nas direções x e y são perpendiculares entre si, no triângulo à direita temos que o ângulo entre a força peso e a componente do peso na direção y é \( \displaystyle \delta =\frac{\pi}{2}-\gamma \Rightarrow \delta =\frac{\pi}{2}-\left(\frac{\pi}{2}-\alpha \right)\Rightarrow \delta =\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{2}+\alpha \Rightarrow \delta =\alpha \).

\[ \delta =\frac{\pi}{2}-\gamma \Rightarrow \delta =\frac{\pi}{2}-\left(\frac{\pi}{2}-\alpha \right)\Rightarrow \delta =\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{2}+\alpha \Rightarrow \delta =\alpha \]

Bloco 3 (Figura 3-A):

P₃: peso do bloco 3;
N₃: reação normal do plano sobre o bloco 3;
T₂₃: tração na corda entre os blocos 2 e 3.

Adotamos um sistema de referência com a mesma orientação do bloco anterior. A força peso pode ser decomposta em duas, uma componente paralela ao eixo-x (P_3P) e a outra normal ou perpendicular (P_3N). Da Figura 3-B vemos que a força peso é perpendicular ao plano horizontal, o ângulo entre o plano inclinado e o plano horizontal é β, como os ângulos internos de um triângulo devem somar π o ângulo entre a força peso e a componente paralela deve ser \( \displaystyle \beta +\gamma +\frac{\pi}{2}=\pi \Rightarrow \gamma =\pi -\beta-\frac{\pi}{2}\Rightarrow \gamma =\frac{\pi}{2}-\beta \).

\[ \beta +\gamma +\frac{\pi}{2}=\pi \Rightarrow \gamma =\pi -\beta-\frac{\pi}{2}\Rightarrow \gamma =\frac{\pi}{2}-\beta \]

Figura 3

As componentes do peso nas direções x e y são perpendiculares entre si, no triângulo à direita temos que o ângulo entre a força peso e a componente do peso na direção y é \( \displaystyle \delta =\frac{\pi}{2}-\gamma \Rightarrow \delta =\frac{\pi}{2}-\left(\frac{\pi}{2}-\beta \right)\Rightarrow \delta =\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{2}+\beta \Rightarrow \delta =\beta \).

\[ \delta =\frac{\pi}{2}-\gamma \Rightarrow \delta =\frac{\pi}{2}-\left(\frac{\pi}{2}-\beta \right)\Rightarrow \delta =\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{2}+\beta \Rightarrow \delta =\beta \]

Solução

Aplicando a 2.ª Lei de Newton

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {\mathbf{F}=m\mathbf{a}} \tag{I} \end{gather} \]

Para a Figura 1 adotamos o sentido positivo para baixo no mesmo sentido da aceleração. Na direção horizontal não há forças atuando no bloco, na direção vertical aplicando a expressão (I)

\[ {\mathbf{P}}_{1}-{\mathbf{T}}_{12}=m_{1}\mathbf{a} \]

onde

\( {\mathbf{P}}_{1}=m_{1}g\;\mathbf{j} \)
\( {\mathbf{T}}_{12}=T_{12}\;\mathbf{j} \)
\( {\mathbf{a}}=a\;\mathbf{j} \)

assim

\[ m_{1}g\;\mathbf{j}-T_{12}\;\mathbf{j}=m_{1}a\;\mathbf{j} \]

como só existem componentes na direção j, em módulo

\[ \begin{gather} m_{1}g-T_{12}=m_{1}a \tag{II} \end{gather} \]

Da Figura 2-C aplicando a expressão (I)

\[ \begin{gather} {\mathbf{N}}_{2}+{\mathbf{T}}_{12}+{\mathbf{P}}_{2}+{\mathbf{T}}_{23}=m_{2}\mathbf{a}\\ {\mathbf{N}}_{2}+{\mathbf{T}}_{12}+{\mathbf{P}}_{2P}+{\mathbf{P}}_{2N}+{\mathbf{T}}_{23}=m_{2}\mathbf{a} \end{gather} \]

onde

\( {\mathbf{N}}_{2}=N_{2}\;\mathbf{j} \)
\( {\mathbf{T}}_{12}=T_{12}\;\mathbf{i} \)
\( {\mathbf{P}}_{2P}=m_{2}g\operatorname{sen}\alpha\;\mathbf{i} \)
\( {\mathbf{P}}_{2N}=-m_{2}g\cos \alpha\;\mathbf{j} \)
\( {\mathbf{T}}_{23}=-T_{23}\;\mathbf{i} \)

assim

\[ N_{2}\;\mathbf{j}+T_{12}\;\mathbf{i}+m_{2}g\operatorname{sen}\alpha\;\mathbf{i}-m_{2}g\cos \alpha\;\mathbf{j}-T_{23}\;\mathbf{i}=m_{2}a\;\mathbf{i} \]

Separando as equações nas direções i e j

\[ \begin{gather} T_{12}+m_{2}g\operatorname{sen}\alpha -T_{23}=m_{2}a \tag{III} \end{gather} \]

\[ N_{2}-m_{2}g\cos \alpha =0 \]

Da Figura 3-C aplicando a expressão (I)

\[ \begin{gather} {\mathbf{N}}_{3}+{\mathbf{T}}_{23}+{\mathbf{P}}_{3}=m_{3}\mathbf{a}\\ {\mathbf{N}}_{3}+{\mathbf{T}}_{23}+{\mathbf{P}}_{3P}+{\mathbf{P}}_{3N}=m_{3}\mathbf{a} \end{gather} \]

onde

\( {\mathbf{N}}_{3}=N_{3}\;\mathbf{j} \) \( {\mathbf{T}}_{23}=T_{23}\;\mathbf{i} \) \( {\mathbf{P}}_{3P}=m_{3}g\operatorname{sen}\beta\;\mathbf{i} \) \( {\mathbf{P}}_{3N}=-m_{3}g\cos \beta\;\mathbf{j} \)

assim

\[ N_{3}\;\mathbf{j}+T_{23}\;\mathbf{i}+m_{3}g\operatorname{sen}\beta\;\mathbf{i}-m_{3}g\cos \beta\;\mathbf{j}=m_{3}a\;\mathbf{i} \]

Separando as equações nas direções i e j

\[ \begin{gather} T_{23}+m_{3}g\operatorname{sen}\beta =m_{3}a \tag{IV} \end{gather} \]

\[ N_{3}-m_{3}g\cos \beta =0 \]

Somando as expressões (II), (III) e (IV)

\[ \frac{ \begin{matrix} \begin{align} & m_{1}g-\cancel{T_{12}}=m_{1}a\\ & \cancel{T_{12}}+m_{2}g\operatorname{sen}\alpha-\cancel{T_{23}}=m_{2}a\\ & \cancel{T_{23}}+m_{3}g\operatorname{sen}\beta =m_{3}a \end{align} \end{matrix}} {m_{1}g+m_{2}g\operatorname{sen}\alpha+m_{3}g\operatorname{sen}\beta =m_{1}a+m_{2}a+m_{3}a} \]

Usando a relação dada no problema entre as massas dos corpos 1 e 2, m₁ = 2m₂, reescrevemos a expressão acima como

\[ \begin{gather} 2m_{2}g+m_{2}g\operatorname{sen}\alpha+m_{3}g\operatorname{sen}\beta=2m_{2}a+m_{2}a+m_{3}a\\[5pt] 2m_{2}g+m_{2}g\operatorname{sen}\alpha+m_{3}g\operatorname{sen}\beta=3m_{2}a+m_{3}a\\[5pt] 2m_{2}g+m_{2}g\operatorname{sen}\alpha-3m_{2}a=m_{3}a-m_{3}g\operatorname{sen}\beta\\[5pt] m_{2}(2g+g\operatorname{sen}\alpha-3a)=m_{3}(a-g\operatorname{sen}\beta) \end{gather} \]

\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {\frac{m_{2}}{m_{3}}=\frac{a-g\operatorname{sen}\beta}{2g+g\operatorname{sen}\alpha -3a}} \]

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