Exercício Resolvido de Cinemática das Rotações

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A haste ABCD ilustrada, gira apoiada em duas articulações esféricas em A e D, no sentido horário, quando a mesma é observada do ponto de vista da articulação A. A velocidade angular da barra, no instante considerado, é igual a 12 rad/s, e diminui de forma constante, à razão de 3 rad/s2. Calcule:
a) O vetor velocidade angular, em rad/s;
b) O vetor aceleração angular, em rad/s2;
c) O vetor velocidade do ponto B, em m/s; d) O vetor aceleração do ponto B, em m/s2.

Haste ABCD, AB=28 centímetros, BC=18 centímetros e CD=12 centímetros, girando em torno da diagonal AD no sentido horário quando visto de A.


Dados do problema Esquema do problema

Haste ABCD girando em torno do eixo AD com velocidade angular omega=12 radianos por segundo e aceleração angular alfa=-3 radianos por segundo por segundo.
figura 1

Visto do ponto A o sistema gira no sentido horário com velocidade angular ω e como sua aceleração angular α é negativa ela está no sentido anti-horário (figura 1).
Solução
Em primeiro lugar vamos converter as dimensões da barra dadas em centímetros para metros usado no Sistema Internacional (S.I.)
\[ \overline{{\mathit{AB}}}=28.\frac{1\;\text{m}}{10^{2}}=28.10^{-2}\;\text{m}=0,28\;\text{m}\\ \overline{{\mathit{BC}}}=18.\frac{1\;\text{m}}{10^{2}}=18.10^{-2}\;\text{m}=0,18\;\text{m}\\ \overline{{\mathit{CD}}}=12.\frac{1\;\text{m}}{10^{2}}=12.10^{-2}\;\text{m}=0,12\;\text{m} \]

a) Vamos encontrar o vetor unitário eAD na direção do eixo AD representado pelo vetor R em torno do qual o sistema gira em função dos vetores unitários i, j, k. O vetor r' vai da origem até o ponto A que tem as coordenadas \( (\;x_{\text{A}},y_{\text{A}},z_{\text{A}}\;)=(\;0;0,18;0,12\;) \), o vetor será \( \mathbf{\text{r'}}=0,18\;\mathbf{\text{j}}+0,12\;\mathbf{\text{k}} \). O vetor r vai da origem até o ponto D que tem as coordenadas \( (\;x_{\text{D}},y_{\text{D}},z_{\text{D}}\;)=(\;0,28;0;0\;) \), o vetor será \( \mathbf{\text{r}}=0,28\;\mathbf{\text{i}} \). O vetor R será (figura 2)
\[ \mathbf{\text{R}}=\mathbf{\text{r}}-\mathbf{\text{r'}}\\ \mathbf{\text{R}}=0,28\;\mathbf{\text{i}}-(\;0,18\;\mathbf{\text{j}}+0,12\;\mathbf{\text{k}}\;)\\ \mathbf{\text{R}}=0,28\;\mathbf{\text{i}}-0,18\;\mathbf{\text{j}}-0,12\;\mathbf{\text{k}} \]
Vetor R na direção do ponto A até o ponto D, vetor r' da origem O até o ponto A, vetor r da origem até o ponto D, vetor unitário eAD indicando a direção do vetor R.
figura 2
o vetor unitário eAD será
\[ {\mathbf{\text{e}}}_{\text{AD}}=\frac{\mathbf{\text{R}}}{|\mathbf{\text{R}}|}\\ {\mathbf{\text{e}}}_{\text{AD}}=\frac{0,28\;\mathbf{\text{i}}-0,18\;\mathbf{\text{j}}-0,12\;\mathbf{\text{k}}}{\sqrt{\;0,28^{2}+(\;-0,18^{2}\;)+(\;-0,12^{2}\;)\;}}\\ {\mathbf{\text{e}}}_{\text{AD}}=\frac{0,28\;\mathbf{\text{i}}-0,18\;\mathbf{\text{j}}-0,12\;\mathbf{\text{k}}}{\sqrt{\;0,0784+0,0324+0,0144\;}}\\ {\mathbf{\text{e}}}_{\text{AD}}=\frac{0,28\;\mathbf{\text{i}}-0,18\;\mathbf{\text{j}}-0,12\;\mathbf{\text{k}}}{\sqrt{\;0,1252\;}}\\{\mathbf{\text{e}}}_{\text{AD}}=\frac{0,28\;\mathbf{\text{i}}-0,18\;\mathbf{\text{j}}-0,12\;\mathbf{\text{k}}}{0,3538}\\ {\mathbf{\text{e}}}_{\text{AD}}=0,79\;\mathbf{\text{i}}-0,51\;\mathbf{\text{j}}-0,34\;\mathbf{\text{k}} \]
O vetor velocidade angular será (figura 3)


\[ \bbox[#99CCFF,10px] {\boldsymbol{\omega}=\omega \;{\mathbf{e}}_{\text{AD}}} \]
\[ \boldsymbol{\omega}=12.(0,79\;\mathbf{\text{i}}-0,51\;\mathbf{\text{j}}-0,34\;\mathbf{\text{k}}) \]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {\boldsymbol{\omega}=9,48\;\mathbf{\text{i}}-6,12\;\mathbf{\text{j}}-4,08\;\mathbf{\text{k}}} \tag{I} \]
Vetor velocidade angular na mesma direção e sentido do vetor R do ponto A ao ponto D.
figura 3
 
b) O vetor aceleração angular será (figura 4)


\[ \bbox[#99CCFF,10px] {\boldsymbol{\alpha }=\alpha \;{\mathbf{e}}_{\text{AD}}} \]
\[ \boldsymbol{\alpha}=-3.(0,79\;\mathbf{\text{i}}-0,51\;\mathbf{\text{j}}-0,34\;\mathbf{\text{k}}) \]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {\boldsymbol{\alpha}=-2,37\;\mathbf{\text{i}}+1,53\;\mathbf{\text{j}}+1,02\;\mathbf{\text{k}}} \tag{II} \]
Vetor aceleração angular na mesma direção e sentido oposto do vetor R do ponto A ao ponto D.
figura 4
 
c) O vetor r' é o mesmo usado no item (a), o vetor r vai da origem até o ponto B que tem as coordenadas \( (\;x_{\text{B}},y_{\text{B}},z_{\text{B}}\;)=(\;0,28;0,18;0,12\;) \), o vetor será  \( \mathbf{\text{r}}=0,28\mathbf{\text{i}}+0,18\;\mathbf{\text{j}}+0,12\;\mathbf{\text{k}} \). O vetor rB que localiza o ponto B, onde queremos calcular o vetor velocidade, em relação ao ponto A será dado por (figura 5-A)
\[ \mathbf{\text{r}}_{\text{B}}=\mathbf{\text{r}}-\mathbf{{\text{r'}}}\\ \mathbf{\text{r}}_{\text{B}}=0,28\mathbf{\text{i}}+0,18\;\mathbf{\text{j}}+0,12\;\mathbf{\text{k}}-(\;0,18\;\mathbf{\text{j}}+0,12\;\mathbf{\text{k}}\;)\\ \mathbf{\text{r}}_{\text{B}}=0,28\mathbf{\text{i}}+0,18\;\mathbf{\text{j}}+0,12\;\mathbf{\text{k}}-0,18\;\mathbf{\text{j}}-0,12\;\mathbf{\text{k}}\\ \begin{align}\mathbf{\text{r}}_{\text{B}}=0,28\mathbf{\text{i}} \tag{III}\end{align} \]
(A) vetor r' da origem até o ponto A, vetor r' da origem até o ponto B e vetor rB do ponto A até o ponto B. (B) vetor velocidade angular na direção AD no sentido de A para D.
figura 5

Usando a expressão(I) o vetor velocidade do ponto B será (figura 5-B)
\[ \bbox[#99CCFF,10px] {\mathbf{\text{v}}=\boldsymbol{\omega }\times\mathbf{\text{r}}_{\text{B}}} \]
\[ \mathbf{\text{v}}=\begin{bmatrix}\mathbf{\text{i}}&\mathbf{\text{j}}&\mathbf{\text{k}}\\\;9,48&-6,12&-4,08\\\;0,28&0&0\end{bmatrix}\\ \mathbf{\text{v}}=[(\;-6,12\;).0-(\;-4,08\;).0]\;\mathbf{\text{i}}-[\;9,48.0-(\;-4,08\;).0,28]\;\mathbf{\text{j}}+[\;9,48.0-(\;-6,12\;).0,28]\;\mathbf{\text{k}}\\ \mathbf{\text{v}}=[0-0]\;\mathbf{\text{i}}-[0-(\;-1,14\;)]\;\mathbf{\text{j}}+[0-(\;-1,71\;)]\;\mathbf{\text{k}}\\ \mathbf{\text{v}}=0\;\mathbf{\text{i}}-[1,14]\;\mathbf{\text{j}}+[1,71]\;\mathbf{\text{k}} \]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {\mathbf{\text{v}}=-1,14\;\mathbf{\text{j}}+1,71\;\mathbf{\text{k}}} \tag{IV} \]

d) Usando o vetor rB do item (c) e a expressão (II), o vetor aceleração no ponto B será (figura 6)
\[ \bbox[#99CCFF,10px] {\mathbf{\text{a}}=\boldsymbol{\omega }\times(\;\boldsymbol{\omega }\times\mathbf{\text{r}}_{\text{B}}\;)+\boldsymbol{\alpha }\times\mathbf{\text{r}}_{\text{B}}} \]
O termo entre parênteses \( (\;\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{\text{r}}_{\text{B}}\;) \) é o vetor velocidade v encontrado no item (c), assim podemos reescrever
\[ \mathbf{\text{a}}=\boldsymbol{\omega }\times\mathbf{\text{v}}+\boldsymbol{\alpha}\times\mathbf{\text{r}}_{\text{B}} \tag{V} \]
Calculando separadamente os produtos vetoriais, temos
Vetor aceleração angular na mesma direção e sentido oposto do vetor R do ponto A ao ponto D.
figura 6
\[ \boldsymbol{\omega}\times\mathbf{\text{v}}=\begin{bmatrix}\mathbf{\text{i}}&\mathbf{\text{j}}&\mathbf{\text{k}}\\9,48&-6,12&-4,08\\0&-1,14&1,71\end{bmatrix}\\ \boldsymbol{\omega}\times\mathbf{\text{v}}=[(\;-6,12\;).1,71-(\;-4,08\;).(\;-1,14\;)]\;\mathbf{\text{i}}-[\;9,48.1,71-(\;-4,08\;).0]\;\mathbf{\text{j}}\text{+}\\ \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad+[\;9,48.(\;-1,14\;)-(\;-6,12\;).0]\;\mathbf{\text{k}}\\ \boldsymbol{\omega}\times\mathbf{\text{v}}=[-10,47-4,65]\;\mathbf{\text{i}}-[16,21-0]\;\mathbf{\text{j}}+[-10,81-0]\;\mathbf{\text{k}}\\ \begin{align}\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{\text{v}}=-15,12\;\mathbf{\text{i}}-16,21\;\mathbf{\text{j}}-10,81\;\mathbf{\text{k}} \tag{VI}\end{align} \]
\[ \boldsymbol{\alpha }\times\mathbf{\text{r}}_{\text{B}}=\begin{bmatrix}\mathbf{\text{i}}&\mathbf{\text{j}}&\mathbf{\text{k}}\\\;-2,37&1,53&1,02\\0,28&0&0\end{bmatrix}\\ \boldsymbol{\alpha}\times\mathbf{\text{r}}_{\text{B}}=[\;1,53.0-1,02.0\;]\;\mathbf{\text{i}}-[(\;-2,37\;).0-1,02.0,28]\;\mathbf{\text{j}}+[(\;-2,37\;).0-1,53.0,28]\;\mathbf{\text{k}}\\ \boldsymbol{\alpha}\times\mathbf{\text{r}}_{\text{B}}=[0-0]\;\mathbf{\text{i}}-[0-0,29]\;\mathbf{\text{j}}+[0-0,43]\;\mathbf{\text{k}}\\ \begin{align}\boldsymbol{\alpha}\times\mathbf{\text{r}}_{\text{B}}=0,29\;\mathbf{\text{j}}-0,43\;\mathbf{\text{k}} \tag{VII}\end{align} \]
substituindo as expressões (VI) e (VII) em (V) o vetor aceleração será
\[ \mathbf{\text{a}}=(\;-15,12\;\mathbf{\text{i}}-16,21\;\mathbf{\text{j}}-10,81\;\mathbf{\text{k}}\;)+(\;0,29\;\mathbf{\text{j}}-0,43\;\mathbf{\;})\text{k} \]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {\mathbf{\text{a}}=-15,12\;\mathbf{\text{i}}-15,92\;\mathbf{\text{j}}+11,24\;\mathbf{\text{k}}} \]

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