Exercício Resolvido de Cinemática
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Um ponto material descreve uma curva plana, de maneira tal que suas posições em relação a um sistema cartesiano ortogonal, tomado nesse plano, variam com o tempo segundo as equações:
\[ \begin{gather} x=t^{3}-2t\\[8pt] y=4t^{2} \end{gather} \]
sendo x e y dados em metros e t em segundos. Determinar a velocidade e a aceleração do ponto no instante t = 2 s.


Solução

O movimento do ponto material é a soma vetorial de um movimento ao longo do eixo Ox e outro movimento ao longo do eixo Oy, as velocidades ao longo desses eixos serão dadas por
\[ \bbox[#99CCFF,10px] {v=\frac{dr}{dt}} \]
\[ \begin{gather} \frac{dx}{dt}=3t^{3-1}-2^{2-1}\\ v_{x}=3t^{2}-2 \tag{I} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \frac{dy}{dt}=2.4t^{2-1}\\ v_{y}=8t \tag{II} \end{gather} \]
para t = 2 s
\[ \begin{gather} v_{x}=3.2^{2}-2\\ v_{x}=3.4-2\\ v_{x}=12-2\\ v_{x}=10\;\text{m/s} \tag{III} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} v_{y}=8.2\\ v_{y}=16\;\text{m/s} \tag{IV} \end{gather} \]
com as expressões (III) e (IV) o vetor velocidade será
\[ \vec{v}={\vec{v}}_{x}+{\vec{v}}_{y} \]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {\vec{v}=10\;\mathbf{\text{i}}+16\;\mathbf{\text{j}}} \]
onde i e j são os vetores unitários nas direções x e y. O módulo da velocidade será
\[ \begin{gather} v^{2}=v_{x}^{2}+v_{y}^{2}\\ v^{2}=10^{2}+16^{2}\\ v^{2}=100+256\\ v=\sqrt{356\;} \end{gather} \]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {v=18,9\;\text{m/s}} \]
As acelerações ao longo dos eixos serão dadas por
\[ \bbox[#99CCFF,10px] {a=\frac{dv}{dt}} \]
Com as expressões (I) e (II) obtemos as acelerações nas direções i e j
\[ \begin{gather} \frac{dv_{x}}{dt}=2.3t^{2-1}-0\\ a_{x}=6t \tag{V} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \frac{dv_{y}}{dt}=8t^{1-1}\\ a_{y}=8 \tag{VI} \end{gather} \]
para t = 2 s
\[ \begin{gather} a_{x}=6.2\\ a_{x}=12\;\text{m/s}^{2} \tag{VII} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} a_{y}=8\;\text{m/s}^{2} \tag{VIII} \end{gather} \]
com as expressões (VII) e (VIII) o vetor aceleração será
\[ \vec{a}={\vec{a}}_{x}+{\vec{a}}_{y} \]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {\vec{a}=12\;\mathbf{\text{i}}+8\;\mathbf{\text{j}}} \]
O módulo da aceleração será
\[ \begin{gather} a^{2}=a_{x}^{2}+a_{y}^{2}\\ a^{2}=12^{2}+8^{2}\\ a^{2}=144+64\\ a=\sqrt{208\;} \end{gather} \]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {a=14,4\;\text{m/s}^{2}} \]
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