Exercício Resolvido de Cinemática
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Um barco a vapor, que navega com velocidade constante v (km/h), e consome 0,3+0,001v3 toneladas de carvão por hora. Calcular:
a) A velocidade que deverá ter num percurso de 1000 km para haver o mínimo consumo;
b) A quantidade de carvão consumida nesta viagem.


Dado do problema:
  • Taxa de consume de carvão:    \( c=0,3+0,001v^{3}\;\frac{\text{t}}{\text{h}} \).
Solução

a) O consumo total de carvão CT durante a viagem será a taxa de consumo por unidade de tempo c, dada no problema, multiplicada pelo tempo de duração da viagem Δt
\[ \begin{gather} C_{T}=c\Delta t \tag{I} \end{gather} \]
como a velocidade do navio é constante o tempo de viagem pode ser obtido da expressão da velocidade média
\[ \bbox[#99CCFF,10px] {v=\frac{\Delta x}{\Delta t}} \]
\[ \begin{gather} \Delta t=\frac{\Delta x}{v} \tag{II} \end{gather} \]
Substituindo o consumo de carvão fornecido no problema e o tempo de viagem obtido de (II) na expressão (I)
\[ C_{T}=\left(0,3+0,001v^{3}\right)\frac{\Delta x}{v} \]
para a distância dada no problema, Δx = 1000 km
\[ \begin{gather} C_{T}=\left(0,3+0,001v^{3}\right)\frac{1000}{v}\\ C_{T}=\frac{300}{v}+\frac{v^{3}}{v}\\ C_{T}=\frac{300}{v}+v^{2} \tag{III} \end{gather} \]
Para encontrarmos a velocidade em que o consumo é mínimo devemos derivar a expressão (III) e impor que ela seja igual à zero.

Derivada de    \( C_{T}=\dfrac{300}{v}+v^{2} \)
\[ \begin{gather} \frac{dC_{T}}{dv}=300 v^{-1}+v^{2}\\ \frac{dC_{T}}{dv}=-1.300 v^{-1-1}+2 v^{2-1}\\ \frac{dC_{T}}{dv}=-300 v^{-2}+2 v^{1}\\ \frac{dC_{T}}{dv}=-{\frac{300}{v^{2}}}+2v \end{gather} \]
\[ -{\frac{300}{v^{2}}}+2v=0 \]
multiplicando esta expressão por v2
\[ \begin{gather} \qquad \qquad\quad -\frac{300}{v^{2}}+2v=0\qquad (\times\;v^{2})\\ -{\frac{300}{\cancel{v^{2}}}}\cancel{v^{2}}+2v\;v^{2}=0\\ -300+2v^{3}=0\\ 2v^{3}=300\\ v^{3}=\frac{300}{2}\\ v^{3}=150\\ v=\sqrt[{3\;}]{150\;} \end{gather} \]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {v\simeq 5,3\;\text{km/h}} \]
Para verificarmos se este é o ponto de mínimo da função calculamos a segunda derivada.

Derivada de    \( \dfrac{dC_{T}}{dv}=-{\dfrac{300}{v^{2}}}+2v \)
\[ \begin{gather} \frac{d^{2}C_{T}}{dv^{2}}=-300v^{-2}+2v\\ \frac{d^{2}C_{T}}{dv^{2}}=-(-2).300v^{-2-1}+2v^{1-1}\\ \frac{d^{2}C_{T}}{dv^{2}}=600v^{-3}+2v^{0}\\ \frac{d^{2}C_{T}}{dv^{2}}=\frac{600}{v^{3}}+2 \end{gather} \]

substituindo a velocidade
\[ \begin{gather} \frac{d^{2}C_{T}}{dv^{2}}=\frac{600}{(\sqrt[{3\;}]{150})^{3}}+2\\ \frac{d^{2}C_{T}}{dv^{2}}=\frac{600}{150}+2\\ \frac{d^{2}C_{T}}{dv^{2}}=6>0 \end{gather} \]
como a segunda derivada é maior que zero a velocidade encontrada representa um ponto de mínimo da função.

b) A quantidade de carvão consumida é obtida substituindo o resultado do item anterior na expressão (III) para o consumo total
\[ \begin{gather} C_{T}=\frac{300}{\sqrt[{3\;}]{150\;}}+(\sqrt[{3\;}]{150\;})^{2}\\ C_{T}=\frac{300}{5,3}+(5,3)^{2}\\ C_{T}=56,6+28,1 \end{gather} \]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {C_{T}=84,7\;\text{t}} \]
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