Exercício Resolvido de Cinemática
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Obtenha a expressão para o cálculo do espaço percorrido em função do tempo no Movimento Retilíneo Uniforme, a partir da expressão da velocidade instantânea.


Solução

A velocidade instantânea é dada por
\[ \bbox[#99CCFF,10px] {v=\frac{dx}{dt}} \]
Integramos esta expressão em dt de ambos os lados
\[ \int {{\frac{dx}{dt}\;dt}}=\int {{v\;dt}} \]
como a velocidade v é constante ela "sai" da integral e \( \dfrac{dx}{dt}\;dt=dx \)
\[ \begin{gather} \int {{dx}}=v\int{{dt}}\\ x(t)+C_{1}=vt+C_{2}\\ x(t)=vt+C_{2}-C_{1} \end{gather} \]
C1 e C2 são constantes de integração que podem ser definidas em função de uma nova constante C = C2 − C1.
\[ \begin{gather} x(t)=vt+C \tag{I} \end{gather} \]
adotando a condição de que no instante inicial, t0, o móvel está na posição inicial x0, temos a condição inicial x(t0) = x0, substituindo na expressão (I)
\[ \begin{gather} x(t_{0})=vt_{0}+C_{1}\\ x_{0}=vt_{0}+C_{1}\\ C_{1}=x_{0}-vt_{0} \tag{II} \end{gather} \]
substituindo a expressão (II) na expressão (I)
\[ x(t)=vt+x_{0}-vt_{0} \]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {x(t)=x_{0}+v\left(t-t_{0}\right)} \]
que descreve um corpo em Movimento Retilíneo Uniforme.
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