Exercício Resolvido de Cinemática
publicidade   



O móvel B parte do ponto O no mesmo instante em que por esse ponto passa o móvel A. Ambos os móveis percorrem a mesma trajetória retilínea e as curvas velocidade×tempo são quartos de circunferência com raios iguais, como mostra a figura. Determinar:
a) O instante em os móveis possuem velocidades iguais em módulo;
b) O valor desta velocidade;
c) O instante em os móveis possuem acelerações iguais em módulo;
d) O valor desta aceleração.


Solução

A equação de uma circunferência é dada por
\[ \bbox[#99CCFF,10px] {(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}=r^{2}} \]
onde x0 e y0 são as coordenadas do centro da circunferência e r o seu raio.
Como o gráfico das velocidades em função do tempo são arcos de circunferência, podemos fazer as seguintes associações x = t, y = v e r = 10.
Para o móvel B temos uma circunferência centrada na origem (x0, y0) = (0, 0) (Figura 1), assim a equação da velocidade será
\[ \begin{gather} t^{2}+v_{B}^{2}=10^{2}\\ v_{B}^{2}=100-t^{2} \tag{I}\\ v_{B}=\sqrt{100-t^{2}\;} \tag{I} \end{gather} \]

Figura 1

Para o móvel A temos uma circunferência centrada em (x0, y0) = (10, 0) (Figura 2), assim a equação da velocidade será
\[ \begin{gather} (t-10)^{2}+v_{A}^{2}=10^{2}\\ v_{A}^{2}=100-(t-10)^{2} \tag{III}\\ v_{A}=\sqrt{100-(t-10)^{2}\;} \tag{IV} \end{gather} \]

Figura 2

a) Impondo a condição de que as velocidades são iguais e usando as expressões (I) e (III)
\[ \begin{gather} v_{B}^{2}=v_{A}^{2}\\ 100-t^{2}=100-(t-10)^{2}\\ t^{2}=(t-10)^{2}\\ t^{2}=t^{2}-20t+100\\ -20t-100=0\\ t=\frac{100}{20} \end{gather} \]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {t=5\;\text{s}} \]

b) Substituindo o resultado do item anterior na expressão (II)
\[ \begin{gather} v_{B}=\sqrt{100-5^{2}\;}\\ v_{B}=\sqrt{75\;} \end{gather} \]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {v_{A}=v_{B}=8,7\;\text{m/s}} \]

c) A aceleração é dada por
\[ \bbox[#99CCFF,10px] {a=\frac{dv}{dt}} \]
derivando as expressões (II) e (IV) em relação ao tempo temos as acelerações aA e aB dos móveis.

Derivada de    \( v_{B}=\sqrt{100-t^{2}\;} \)

a função vB(t) é uma função composta cuja derivada é dada pela regra da cadeia
\[ \begin{gather} \frac{dv[u(t)]}{dt}=\frac{dv}{du}\frac{du}{dt} \tag{V} \end{gather} \]
com \( v(u)=\sqrt{u\;} \) e \( u(t)=100-t^{2} \), assim as derivadas serão
\[ \begin{gather} \frac{dv}{du}=u^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}u^{\frac{1}{2}-1}=\frac{1}{2}u^{-{\frac{1}{2}}}=\frac{1}{2\sqrt{u\;}} \tag{VI} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \frac{du}{dt}=-2t \tag{VII} \end{gather} \]
substituindo as expressões (VI) e (VII) na expressão (V)
\[ \frac{dv_{B}}{dt}=\frac{1}{2\sqrt{u\;}}(-2t)=\frac{-{t}}{\sqrt{100-t^{2}\;}} \]
\[ \begin{gather} a_{B}=-{\frac{t}{\sqrt{100-t^{2}\;}}} \tag{VIII} \end{gather} \]
Derivada de    \( v_{A}=\sqrt{100-(t-10)^{2}\;} \)

a função vA(t) é uma função composta cuja derivada é dada pela regra da cadeia
\[ \begin{gather} \frac{dv[u(t)]}{dt}=\frac{dv}{du}\frac{du}{dt} \tag{IX} \end{gather} \]
com \( v(u)=\sqrt{u\;} \) e \( u(t)=100-(t-10)^{2} \), assim as derivadas serão
\[ \begin{gather} \frac{dv}{du}=u^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}u^{\frac{1}{2}-1}=\frac{1}{2}u^{-{\frac{1}{2}}}=\frac{1}{2\sqrt{u\;}} \tag{X} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \frac{du}{dt}=-2(t-10) \tag{XI} \end{gather} \]
substituindo as expressões (X) e (XI) na expressão (IX)
\[ \frac{dv_{A}}{dt}=\frac{1}{2\sqrt{u\;}}[-2(t-10)]=\frac{-(t-10)}{\sqrt{100-(t-10)^{2}}} \]
\[ \begin{gather} a_{A}=-{\frac{t-10}{\sqrt{100-(t-10)^{2}}}} \tag{XII} \end{gather} \]
Impondo a condição de que as acelerações são iguais e usando as expressões (VIII) e (XII)
\[ \begin{gather} a_{B}=a_{A}\\[5pt] -{\frac{t}{\sqrt{100-t^{2}}}}=-{\frac{t-10}{\sqrt{100-(t-10)^{2}}}}\\[5pt] \left[-{\frac{t}{\sqrt{100-t^{2}}}}\right]^{2}=\left[-{\frac{t-10}{\sqrt{100-(t-10)^{2}}}}\right]^{2}\\[5pt] \frac{t^{2}}{100-t^{2}}=\frac{(t-10)^{2}}{100-(t-10\;)^{2}\;}\\[5pt] t^{2}\left[100-(t-10\;)^{2}\right]=(t-10)^{2}(100-t^{2})\\[5pt] 100t^{2}-\cancel{[t^{2}(t-10)^{2}]}=100(t-10)^{2}-\cancel{[t^{2}(t-10)^{2}]}\\[5pt] 100t^{2}=100(t-10)^{2}\\[5pt] t^{2}=t^{2}-20t+100\\[5pt] -20t+100=0\\[5pt] t=\frac{100}{20} \end{gather} \]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {t=5\;\text{s}} \]

d) Substituindo o resultado do item anterior na expressão (VIII)
\[ \begin{gather} a_{B}=-\frac{{5}}{\sqrt{100-5^{2}\;}}\\ a_{B}=-\frac{{5}}{\sqrt{100-25\;}}\\ a_{B}=-\frac{{5}}{\sqrt{75\;}}\\ a_{B}=-\frac{{5}}{8,7} \end{gather} \]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {a_{B}\simeq -0,6\;\text{m/s}^{2}} \]
Substituindo o resultado do item anterior na expressão (XIII)
\[ \begin{gather} a_{A}=-\frac{{5-10}}{\sqrt{100-(5-10)^{2}\;}}\\ a_{A}=-\frac{{-5}}{\sqrt{100-(-5)^{2}\;}}\\ a_{A}=\frac{5}{\sqrt{100-25\;}}\\ a_{A}=\frac{5}{\sqrt{75\;}}\\ a_{B}=\frac{-{5}}{8,7} \end{gather} \]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {a_{A}\simeq 0,6\;\text{m/s}^{2}} \]


Observação: Vemos que em módulo as acelerações dos móveis são iguais (0,6 m/s2), mas elas possuem sinais contrários, enquanto o móvel B está diminuindo sua velocidade (freando), o móvel A está aumentando a velocidade (acelerando), o que concorda com as curvas mostradas no gráfico do problema.
publicidade   

Licença Creative Commons
Fisicaexe - Exercícios Resolvidos de Física de Elcio Brandani Mondadori está licenciado com uma Licença Creative Commons - Atribuição-NãoComercial-Compartilha Igual 4.0 Internacional .