Obtenha a velocidade e a aceleração de um corpo se movendo num plano em coordenadas polares.
Esquema do problema:
Em coordenadas polares um ponto em uma trajetória é descrito por um vetor posição r formando um
ângulo θ com o eixo-x. No ponto considerado a direção do vetor posição e da variação do
ângulo sãp dados pelos vetores unitários êr e êθ.
Quando o corpo se desloca sobre a trajetória ao longo do tempo os vetores unitários em coordenadas
polares também mudam de posição. Isto quer dizer que estes vetores não são constantes no espaço (a sua
direção muda ponto a ponto na trajetória – Figura 2).
Figura 2
Derivada de \( r\;{\mathbf{ê}}_{r} \)
Derivando o produto de funções na forma
\[
(uv)' = u' v+u v'
\]
onde
\( u=r \)
e
\( v={\mathbf{ê}}_{r} \),
\( u'=\dfrac{dr}{dt} \)
e
\( v'=\dfrac{d{\mathbf{ê}}_{r}}{dt} \)
Interpretação dos termos \( \dfrac{d{\mathbf{ê}}_{r}}{dt} \) e
\( \dfrac{d{\mathbf{ê}}_{\theta}}{dt} \)
1.º método
Quando o corpo sofre um deslocamento infinitesimal dθ, o vetor unitário na direção radial
se desloca de êr1 para êr2 e o vetor deslocamento
infinitesimal será (Figura 3)
Quando o corpo sofre um deslocamento infinitesimal dθ o vetor unitário na direção angular se
desloca de êθ1 para êθ2 e o vetor deslocamento infinitesimal
será (Figura 4)
Se decompusermos os vetores unitários êr e êθ do
sistema de coordenadas polares nas direções i e j do sistema de coordenadas
cartesianas, podemos escrever (Figura 5)
para que este produto escalar seja nulo o vetor
\( \left(\frac{d{\mathbf{ê}}_{r}}{d\theta}\right) \)
deve ser perpendicular ao vetor êr, lembrando que
\( \operatorname{sen}\frac{\pi}{2}=0 \),
portanto ele está na mesma direção que o vetor êθ, e pela Figura 3 seu sentido é
positivo
para que este produto escalar seja nulo o vetor
\( \left(\frac{d{\mathbf{ê}}_{\theta}}{d\theta}\right) \)
deve ser perpendicular ao vetor êθ, lembrando que
\( \operatorname{sen}\frac{\pi}{2}=0 \),
portanto ele está na mesma direção que o vetor êr, e pela Figura 4 seu sentido é
negativo
Observação: Não confundir
\( \frac{d}{dt}\left(\frac{d\theta}{dt}\right)=\frac{d^{2}\theta}{dt^{2}} \)
com
\( \frac{d\theta}{dt}\frac{d\theta}{dt}=\left(\frac{d\theta}{dt}\right)^{2} \),
no primeiro caso a derivada segunda do espaço angular em relação ao tempo representa a aceleração
angular (γ), no segundo caso a derivada primeira do espaço angular em relação ao tempo representa a
velocidade angular (ω) elevada ao quadrado, é a velocidade angular ao quadrado (ω2).