Exercício Resolvido de Circuitos RLC
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Um circuito elétrico LC é composto por um indutor de 2 mH e um capacitor de 0,8 μF. A carga
inicial do capacitor é de 5 μC e a corrente no circuito é nula, determine:
a) A variação da carga no capacitor;
b) A variação da corrente no circuito;
c) Calcule a energia total armazenada no circuito;
d) O gráfico da variação da carga (q) em função do tempo (t).
a) A variação da carga no capacitor;
b) A variação da corrente no circuito;
c) Calcule a energia total armazenada no circuito;
d) O gráfico da variação da carga (q) em função do tempo (t).
Dados do problema:
- Indutor: L = 2 mH = 2.10−3 H;
- Capacitor: C = 0,8 μF = 8.10−7 F;
- Carga inicial no capacitor (t = 0): q0 = 5 μC = 5.10−6 C;
- Corrente inicial no circuito (t = 0): i0 = 0.
Admitimos que inicialmente o capacitor está carregado com carga máxima
(qmáx = q0) e a corrente no circuito é nula
(i0 = 0). A partir deste instante começa a circular uma corrente, a carga no capacitor
diminui enquanto a corrente no circuito aumenta (Figura 1). Com isto escrevemos as
Condições Iniciais do problema:
\[
q(0)=5.10^{-6}\;\text{C}
\quad;\quad
i_{0}=\dfrac{dq(0)}{dt}=0
\]
Solução
a) Aplicando a Lei das Malhas de Kirchhoff (Figura 2)
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\sum _{i=1}^{n}V_{i}=0} \tag{I}
\end{gather}
\]
Figura 2
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{V_{L}=L\frac{di}{dt}} \tag{II}
\end{gather}
\]
e entre os pontos C e D a d.d.p. no capacitor é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{V_{C}=\frac{q}{C}} \tag{III}
\end{gather}
\]
substituindo as expressões (II) e (III) na expressão (I)
\[
\begin{gather}
V_{L}+V_{C}=0\\[5pt]
L\frac{di}{dt}+\frac{q}{C}=0
\end{gather}
\]
como corrente é a variação da carga no tempo,
\( q=\dfrac{dq}{dt} \),
reescrevemos
\[
\begin{gather}
L\frac{d}{dt}\left(\frac{dq}{dt}\right)+\frac{q}{C}=0\\[5pt]
L\frac{d^{2}q}{dt^{2}}+\frac{q}{C}=0
\end{gather}
\]
esta é uma Equação Diferencial Ordinária Homogênea de 2.ª Ordem. Dividindo toda a equação pela
indutância L
\[
\frac{d^{2}q}{dt^{2}}+\frac{1}{LC}q=0
\]
substituindo os valores dados no problema
\[
\begin{gather}
\frac{d^{2}q}{dt^{2}}+\frac{1}{2.10^{-3}.8.10^{-7}}q=0\\[5pt]
\frac{d^{2}q}{dt^{2}}+\frac{1}{16.10^{-10}}q=0\\[5pt]
\frac{d^{2}q}{dt^{2}}+\frac{1.10^{10}}{16}q=0\\[5pt]
\frac{d^{2}q}{dt^{2}}+6,25.10^{8}q=0 \tag{IV}
\end{gather}
\]
a solução deste tipo de equação é encontrada fazendo-se as substituições
\[
\begin{gather}
q=\operatorname{e}^{\lambda t}\\[5pt]
\frac{dq}{dt}=\lambda\operatorname{e}^{\;\lambda t}\\[5pt]
\frac{d^{2}q}{dt^{2}}=\lambda^{2}\operatorname{e}^{\lambda t}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\lambda ^{2}\operatorname{e}^{\lambda t}+6,25.10^{8}\operatorname{e}^{\lambda t}=0\\[5pt]
\operatorname{e}^{\lambda t}\left(\lambda^{2}+6,25.10^{8}\right)=0\\[5pt]
\lambda^{2}+6,25.10^{8}=\frac{0}{\operatorname{e}^{\lambda t}}\\[5pt]
\lambda^{2}+6,25.10^{8}=0
\end{gather}
\]
esta é a Equação Característica, que tem como solução
\[
\begin{gather}
\lambda ^{2}=-6,25.10^{8}\\
\lambda=\sqrt{-6,25.10^{8}\;}\\
\lambda_{1,2}=\pm 2,5.10^{4}\;\text{i}
\end{gather}
\]
onde
\( \mathrm{i}=\sqrt{-1\;} \),
a solução da expressão (IV) é escrita como
\[
\begin{gather}
q=C_{1}\operatorname{e}^{\lambda _{1}t}+C_{2}\operatorname{e}^{\lambda_{2}t}\\[5pt]
q=C_{1}\operatorname{e}^{2,5.10^{4}\;\mathrm{i}t}+C_{2}\operatorname{e}^{-2,5.10^{4}\;\mathrm{i}t}
\end{gather}
\]
onde C1 e C2 são constantes de integração, usando a
Relação de Euler (leia-se “óiler”)
\( \operatorname{e}^{i\theta }=\cos \theta +\operatorname{i}\operatorname{sen}\theta \)
\[
\begin{gather}
q=C_{1}\left(\cos 2,5.10^{4}t+\operatorname{i}\operatorname{sen}2,5.10^{4}t\right)+C_{2}\left(\cos 2,5.10^{4}t-\operatorname{i}\operatorname{sen}2,5.10^{4}t\right)\\[5pt]
q=C_{1}\cos 2,5.10^{4}t+\mathrm{i}C_{1}\operatorname{sen}2,5.10^{4}t+C_{2}\cos 2,5.10^{4}t-\mathrm{i}C_{2}\operatorname{sen}2,5.10^{4}t
\end{gather}
\]
coletando os termos em seno e cosseno
\[
\begin{gather}
q=\left(C_{1}+C_{2}\right)\cos 2,5.10^{4}t+\left(\mathrm{i}C_{1}-\mathrm{i}C_{2}\right)\operatorname{sen}2,5.10^{4}t\\[5pt]
q=\left(C_{1}+C_{2}\right)\cos 2,5.10^{4}t+\mathrm{i}\left(C_{1}-C_{2}\right)\operatorname{sen}2,5.10^{4}t
\end{gather}
\]
definindo duas novas constantes α e β em termos de C1 e C2
\[
\alpha \equiv C_{1}+C_{2}
\quad\text{e}\quad
\beta \equiv \mathrm{i}(C_{1}-C_{2})
\]
\[
\begin{gather}
q=\alpha \cos 2,5.10^{4}t+\beta \operatorname{sen}2,5.10^{4}t \tag{V}
\end{gather}
\]
multiplicando e dividindo esta expressão por \( \sqrt{\alpha ^{2}+\beta ^{2}\;} \)
\[
\begin{gather}
q=\left(\alpha \cos 2,5.10^{4}t+\beta\operatorname{sen}2,5.10^{4}t\right)\frac{\sqrt{\alpha ^{2}+\beta^{2}\;}}{\sqrt{\alpha ^{2}+\beta ^{2}\;}}\\[5pt]
q=\sqrt{\alpha ^{2}+\beta^{2}\;}\left(\frac{\alpha }{\sqrt{\alpha ^{2}+\beta ^{2}\;}}\cos 2,5.10^{4}t+\frac{\beta }{\sqrt{\alpha ^{2}+\beta^{2}\;}}\operatorname{sen}2,5.10^{4}t\right)
\end{gather}
\]
fazendo as seguintes definições
\[
A\equiv \sqrt{\alpha ^{2}+\beta ^{2}\;}
\quad\text{,}\quad
\cos \varphi \equiv \frac{\alpha }{\sqrt{\alpha ^{2}+\beta ^{2}\;}}
\quad\text{,}\quad
\operatorname{sen}\varphi \equiv \frac{\beta }{\sqrt{\alpha ^{2}+\beta ^{2}\;}}
\]
\[
q=A(\cos \varphi \cos 2,5.10^{4}t+\operatorname{sen}\varphi\operatorname{sen}2,5.10^{4}t)
\]
Observação: Lembrando da seguinte propriedade trigonométrica
\[
\cos(a-b)=\cos a\cos b+\operatorname{sen}a\operatorname{sen}b
\]
\[
q=A\cos (2,5.10^{4}t-\varphi ) \tag{VI}
\]
onde A e φ são constantes de integração determinadas pelas Condições Iniciais.Derivando a expressão (VI) em relação ao tempo
Derivada de
\( q=A\cos (2,5.10^{4}t-\varphi ) \)
a função q(t) é uma função composta cuja derivada, pela Regra da Cadeia, é do tipo
a função q(t) é uma função composta cuja derivada, pela Regra da Cadeia, é do tipo
\[
\frac{dq[u(t)]}{dt}=\frac{dq}{du}\frac{du}{dt}
\]
com
\( q(u)=\cos u \)
e
\( u(t)=2,5.10^{4}t-\varphi \),
assim as derivadas serão
\[
\begin{align}
& q=\cos u\\
& \frac{dq}{du}=-\operatorname{sen}u=-\operatorname{sen}(2,5.10^{4}t-\varphi)
\\{\,}\\
& u(t)=2,5.10^{4}t-\varphi\\
& \frac{du}{dt}=2,5.10^{4}
\end{align}
\]
\[
\begin{gather}
\frac{dq}{dt}=A\left[-\operatorname{sen}(2,5.10^{4}t-\varphi).2,5.10^{4}\right]\\
\frac{dq}{dt}=-2,5.10^{4}A\operatorname{sen}(2,5.10^{4}t-\varphi)
\end{gather}
\]
\[
\frac{dq}{dt}=-2,5.10^{\;4}A\operatorname{sen}(2,5.10^{4}t-\varphi ) \tag{VII}
\]
substituindo a Condição Inicial para q(0) na expressão (VI)
\[
\begin{gather}
q(0)=5.10^{-6}=A\cos (2,5.10^{4}.0-\varphi)\\
5.10^{-6}=A\cos (-\varphi )
\end{gather}
\]
como o cosseno é uma função par temos
\( \cos \varphi =\cos (-\varphi ) \)
e a expressão acima fica
\[
5.10^{-6}=A\cos \varphi \tag{VIII}
\]
e substituindo a Condição Inicial para
\( \dfrac{d q(0)}{d t} \)
na expressão (VII)
\[
\begin{gather}
\frac{dq(0)}{dt}=0=-2,5.10^{4}A\operatorname{sen}(2,5.10^{4}.0-\varphi)\\
0=-2,5.10^{4}A\operatorname{sen}(-\varphi )
\end{gather}
\]
como o seno é uma função ímpar
\( \operatorname{sen}\varphi =-\operatorname{sen}(-\varphi ) \)
\[
2,5.10^{4}A\operatorname{sen}\varphi =0 \tag{IX}
\]
isolando o valor de A na expressão (VIII)
\[
A=\frac{5.10^{-6}}{\cos \varphi } \tag{X}
\]
e substituindo em (IX)
\[
\begin{gather}
2,5.10^{4}.\frac{5.10^{-6}}{\cos \varphi}.\operatorname{sen}\varphi =0\\[5pt]
\operatorname{tg}\varphi =0\\[5pt]
\varphi =\operatorname{arc tg}(0)\\[5pt]
\varphi =0
\end{gather}
\]
substituindo o valor de φ na expressão (X)
\[
\begin{gather}
A=\frac{5.10^{-6}}{\cos 0}\\[5pt]
A=\frac{5.10^{-6}}{1}\\[5pt]
A=5.10^{-6}
\end{gather}
\]
substituindo estas constantes na expressão (VI)
\[ \bbox[#FFCCCC,10px]
{q(t)=5.10^{-6}\cos 2,5.10^{4}t}
\]
b) A corrente será dada pela derivada da carga em função do tempo
\[
i=\frac{dq}{dt}
\]
a derivada foi obtida no item anterior (no quadro cinza em destaque)
\[
\frac{dq}{dt}=-2,5.10^{4}A\operatorname{sen}(2,5.10^{4}t-\varphi )
\]
substituindo as constantes A e φ obtidas acima
\[
i(t)=-2,5.10^{4}.5.10^{-6}\;\operatorname{sen}(2,5.10^{4}t-0)
\]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px]
{i(t)=-0,125\operatorname{sen}2,5.10^{4}t}
\]
c) A energia armazenada no circuito é
\[
U=U_{C}+U_{L} \tag{XI}
\]
onde UC é a energia potencial elétrica, armazenada no campo elétrico entre as placas do
capacitor, dada por
\[ \bbox[#99CCFF,10px]
{U_{C}=\frac{q^{2}}{2C}} \tag{XII}
\]
e UL é a energia magnética, armazenada no campo magnético do indutor, dada por
\[ \bbox[#99CCFF,10px]
{U_{L}=\frac{1}{2}Li^{2}} \tag{XIII}
\]
substituindo as expressões (XII) e (XIII) na expressão (XI)
\[
U=\frac{q^{2}}{2C}+\frac{1}{2}Li^{2} \tag{XIV}
\]
substituindo os resultados dos itens (a) e (b) na expressão (XIV) e os valores de L e C dados
no problema
\[
\begin{gather}
U=\frac{\left(5.10^{-6}\cos2,5.10^{4}t\right)^{2}}{2.8.10^{-7}}+\frac{1}{2}.2.10^{-3}.\left(-0,125\operatorname{sen}2,5.10^{4}t\right)^{2}\\[5pt]
U=\frac{25.10^{-12}}{16.10^{-7}}\cos^{2}2,5.10^{4}t+1.10^{-}.0,015625\operatorname{sen}^{2}2,5.10^{4}t\\[5pt]
U=1,5625.10^{-12}.10^{7}\cos^{2}2,5.10^{4}t+1.10^{-3}.0,015625\operatorname{sen}^{2}2,5.10^{4}t\\[5pt]
U=1,6.10^{-5}\cos^{2}2,5.10^{4}t+1,6.10^{-5}\operatorname{sen}^{2}2,5.10^{4}t\\[5pt]
U=1,6.10^{-5}\left(\underbrace{\cos^{2}2,5.10^{4}t+\operatorname{sen}^{2}2,5.10^{4}t}_{1}\right)
\end{gather}
\]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px]
{U=1,6.10^{-5}\;\text{J}}
\]
d) Construção do gráfico de
\[
q(t)=5.10^{-6}\cos 2,5.10^{4}t \tag{XV}
\]
fazendo q(t) = 0 encontramos as raízes da função
\[
\begin{gather}
q(t)=5.10^{-6}\cos 2,5.10^{4}t=0\\[5pt]
\cos2,5.10^{4}t=\frac{0}{5.10^{-6}}\\[5pt]
\cos 2,5.10^{4}t=0
\end{gather}
\]
a função cosseno é zero quando seu argumento
\( \left(2,5.10^{4}t\right) \)
é igual a
\( \dfrac{\pi }{2} \),
\( \dfrac{3\pi }{2} \),
\( \dfrac{5\pi }{2} \),
...,
\( \dfrac{(2n+1)\pi }{2} \),
com n = 0, 1, 2, 3,..., portanto devemos ter
\[
\begin{gather}
2,5.10^{4}t=\frac{(2n+1)\pi }{2}\\[5pt]
t=\frac{(2n+1)\pi}{2.2,5.10^{4}}\\[5pt]
t=\frac{(2n+1)\pi }{5.10^{4}}\\[5pt]
t=\frac{(2n+1)\pi}{5}.10^{-4}\;\text{s}
\end{gather}
\]
para esses valores de t temos as raízes da função cosseno, os quatro primeiros valores serão, para
n= 0, 1, 2 e 3, respectivamente, t =
\( \dfrac{\pi }{5}.10^{-4} \),
\( \dfrac{3\pi }{5}.10^{-4} \),
\( \dfrac{5\pi }{5}.10^{-4} \),
\( \dfrac{7\pi }{5}.10^{-4}x \),
estes valores estão mostrados no Gráfico 1.
A função oscila entre os valores 5.10−6 e −5.10−6 da
amplitude (A).
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