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Exercício Resolvido de Equações de Maxwell


Obtenha as equações de onda para o campo elétrico e para o campo magnético a partir das Equações de Maxwell.


Solução

As Equações de Maxwell na forma diferencial são
\[ \bbox[#99CCFF,10px] {\begin{gather} \nabla .\mathbf{E}=\frac{\rho }{\epsilon_{0}}\\ \nabla .\mathbf{B}=0\\ \nabla \times{\mathbf{E}}=-{\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}}\\ \nabla \times{\mathbf{B}}=\mu _{0}\,\mathbf{i}+\mu_{0}\,\epsilon _{0}\,\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} \end{gather} } \]
onde \( \nabla \) é o operador nabla, que em coordenadas cartesianas vale \( \nabla =\left(\,\frac{\partial }{\partial x}\,\mathbf{i}+\frac{\partial }{\partial y}\,\mathbf{j}+\frac{\partial }{\partial z}\,\mathbf{k}\,\right) \).
Considerando uma região do espaço onde não existam cargas livres (ρ=0) e correntes elétricas (i=0) as Equações de Maxwell tomam a seguinte forma
\[ \nabla .\mathbf{E}=0 \tag{I} \]
\[ \nabla .\mathbf{B}=0 \tag{II} \]
\[ \nabla \times {\mathbf{E}}=\frac{-{\partial\mathbf{B}}}{\partial t} \tag{III} \]
\[ \nabla \times {\mathbf{B}}=\mu _{0}\,\epsilon_{0}\,\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} \tag{IV} \]
Aplicando o rotacional (\( \nabla \times \text{} \)) a ambos os lados da expressão (III), temos
\[ \nabla \times \nabla \times {\mathbf{E}}=\nabla \times\,\left(-{\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}}\,\right) \tag{V} \]
Do lado esquerdo da igualdade aplicamos a seguinte identidade dos operadores vetoriais \( \nabla \times \text{}\nabla \times \text{}=\nabla \,\nabla.\text{}-\nabla ^{2}\text{} \) (“o rotacional do rotacional é igual ao gradiente do divergente menos o laplaciano”), onde o operador lapaciano é dado por \( \nabla ^{2}=\,\left(\,\frac{\partial ^{2}}{\partial x^{2}}+\frac{\partial ^{2}}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2}}{\partial z^{2}}\,\right) \)
\[ \nabla \times \nabla \times {\mathbf{E}}=\nabla\,\underbrace{\nabla .\mathbf{E}}_{0}-\nabla^{2}\mathbf{E} \]
usando a equação (I), o divergente do campo elétrico é nulo, e a expressão fica igual a
\[ \nabla \times \nabla \times {\mathbf{E}}=-\nabla^{2}\mathbf{E} \tag{VI} \]
Do lado direito da igualdade (V) o operador laplaciano depende de variáveis espaciais (x, y e z) e a derivada parcial depende de uma variável temporal (t), elas são independes e podemos trocar a ordem dos operadores
\[ \nabla \times \,\left(-{\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}}\,\right)=-{\frac{\partial}{\partial t}}\,\left(\nabla \times{\mathbf{B}}\,\right) \]
substituindo a equação (IV) na expressão acima, obtemos
\[ \begin{align} \nabla \times \,\left(-{\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}}\,\right)=-{\frac{\partial}{\partial t}}\,\left(\,\mu _{0}\,\epsilon _{0}\,\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}\,\right)\\ \nabla \times\,\left(-{\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}}\,\right)=-\mu _{0}\,\epsilon _{0}\,\frac{\partial^{2}\mathbf{E}}{\partial t^{2}} \qquad \tag{VII} \end{align} \]
Substituindo as expressões (VI) e (VII) em (V), temos
\[ -\nabla ^{\,2}\mathbf{E}=-\mu _{0}\,\epsilon_{0}\,\frac{\partial ^{2}\mathbf{E}}{\partial t^{2}} \]
sendo \( \mu _{0}\,\epsilon _{0}=\frac{1}{c^{2}} \), onde c é a velocidade da luz no vácuo.
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {\nabla ^{2}\mathbf{E}=\frac{1}{c^{2}}\,\frac{\partial^{2}\mathbf{E}}{\partial t^{2}}} \]

Aplicando o rotacional (\( \nabla \times \text{} \)) a ambos os lados da expressão (IV), temos
\[ \nabla \times \nabla \times {\mathbf{B}}=\nabla \times\,\left(\,\mu _{0}\,\epsilon _{0}\,\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}\,\right) \tag{VII} \]
Do lado esquerdo da igualdade aplicamos a mesma identidade dos operadores vetoriais usada anteriormente
\[ \nabla \times \nabla \times {\mathbf{B}}=\nabla\,\underbrace{\nabla .\mathbf{B}}_{0}-\nabla^{2}\mathbf{B} \]
usando a equação (II) o divergente do campo de indução magnética é nulo e a expressão fica igual a
\[ \nabla \times \nabla \times {\mathbf{B}}=-\nabla^{2}\mathbf{B} \tag{IX} \]
Do lado direito da igualdade (VIII) podemos trocar a ordem dos operadores
\[ \nabla \times \,\left(\,\mu _{0}\,\epsilon _{0}\,\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}\,\right)=\mu _{0}\,\epsilon_{\,0}\,\frac{\partial }{\partial t}\,\left(\nabla \times{\mathbf{E}}\,\right) \]
substituindo a equação (III) na expressão acima, obtemos
\[ \begin{align} \nabla \times \,\left(\,\mu _{\,0}\,\epsilon_{0}\,\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}\,\right)=\mu _{0}\,\epsilon _{0}\,\frac{\partial }{\partial t}\,\left(\,-\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}\,\right)\\ \nabla \times \,\left(\,\mu _{0}\,\epsilon_{0}\,\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}\,\right)=-\mu _{\,0}\,\epsilon _{0}\,\frac{\partial^{2}\mathbf{B}}{\partial t^{2}} \qquad \tag{X} \end{align} \]
Substituindo as expressões (IX) e (X) em (VIII), temos
\[ -\nabla ^{\,2}\mathbf{B}=-\mu _{\,0}\,\epsilon_{0}\,\frac{\partial ^{2}\mathbf{B}}{\partial t^{2}} \]
substituindo a velocidade da luz no vácuo.
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {\nabla ^{2}\mathbf{B}=\frac{1}{c^{\,2}}\,\frac{\partial^{2}\mathbf{B}}{\partial t^{2}}} \]
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