Exercício Resolvido de Corrente Elétrica
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Dispõem-se de N pilhas idênticas de f.e.m. E e resistência interna r. Estas pilhas são distribuídas em grupos de X em série, e estas séries são ligadas em paralelo. Pede-se:
a) Determinar o valor de X para que a bateria assim obtida, ligada a um circuito externo de resistência R, faça circular uma corrente de intensidade máxima;
b) Mostrar que no caso do item anterior a resistência interna da bateria é igual à resistência externa do circuito.


Dados do problema:
  • Força eletromotriz da bateria (f.e.m.):    E;
  • Resistência interna da bateria:    r;
  • Resistência externa do circuito:    R.
Esquema do problema:

Existem N baterias no circuito, X delas ligadas em série e \( \frac{N}{X} \) séries de baterias em paralelo (Figura 1).

Figura 1

Observação: Se tiver dificuldade em entender porque são \( \frac{N}{X} \) séries no circuito, pense com valores numéricos. Por exemplo, se N=12 baterias e existirem X=3 baterias por série, teremos (Figura 2).
\[ n=\frac{N}{X}=\frac{12\ \text{baterias}}{3\ \frac{\text{baterias}}{\mathrm{s\acute{e}rie}}}=4\ \mathrm{s\acute{e}ries} \]
Figura 2

Solução

a) O resistor equivalente de uma associação em série, com todos os resistores de mesmo valor, é dado por
\[ \bbox[#99CCFF,10px] {R_{S}=nr} \]
como cada série tem n=X resistores, o resistor equivalente de uma série será
\[ R_{S}=Xr \]
Todos as baterias têm o mesmo valor E, a f.e.m. de n baterias iguais em série é dada por
\[ \bbox[#99CCFF,10px] {V_{S}=nE} \]
como cada série tem n=X baterias a f.e.m. de uma série será
\[ V_{S}=XE \]
Figura 3

Assim o circuito pode ser reduzido ao que é mostrado na Figura 3, formado por \( \frac{N}{X} \) baterias com resistência interna Xr e f.e.m. XE ligadas em paralelo.
O resistor equivalente de uma associação em em paralelo, com resistores de mesmo valor, é dado por
\[ \bbox[#99CCFF,10px] {R_{P}=\frac{r}{n}} \]
como existem \( n=\frac{N}{X} \) resistores, o resistor equivalente do circuito será
\[ \begin{gather} R_{eq}=\frac{Xr}{\frac{N}{X}}\\[5pt] R_{eq}=\frac{XrX}{N}\\[5pt] R_{eq}=\frac{X^{2}r}{N} \tag{I} \end{gather} \]
Como a queda de tensão, numa associação de baterias iguais em paralelo, é a mesma que a queda de tensão em cada uma das baterias, o valor da f.e.m. do circuito continua sendo XE.
Assim o circuito pode ser representado por uma bateria de resistência interna \( \frac{X^{2}r}{N} \) e f.e.m. XE. Aplicando a Lei de Kirchhoff para a única malha do circuito, começando no resistor externo R
\[ \begin{gather} Ri+\frac{X^{2}r}{N}\;i-XE=0\\[5pt] Ri+\frac{X^{2}r}{N}\;i=XE \end{gather} \]
Figura 4
multiplicando toda a equação por N, obtemos
\[ \begin{gather} NRi+N\;\frac{X^{2}r}{N}i=NXE\\[5pt] NRi+riX^{2}=NEX \end{gather} \]
colocando a corrente i em evidência do lado esquerdo da igualdade
\[ \begin{gather} i(NR+rX^{2})=NEX\\[5pt] i=\frac{NEX}{NR+rX^{2}} \end{gather} \]
Para determinarmos a corrente máxima devemos derivar esta corrente em função de X e impor que ela seja igual a zero

Derivada de \( i=\dfrac{NEX}{NR+rX^{2}} \)

usando a regra de derivação do quociente de funções: \( \left(\dfrac{u}{v}\right)^{\text{´}}=\dfrac{u{\text{´}}v-uv{\text{´}}}{v^{2}} \) fazendo
\[ \begin{align} \, & u=NEX\\ \, & u{\text{´}}=NE \end{align} \]
\[ \begin{align} \, & v\;=\;NR+rX^{2}\\ \, & v{\text{´}}=0+2rX=2rX \end{align} \]
\[ \begin{gather} \frac{di}{dX}=\frac{NE(NR+rX^{2})-NEX(2rX)}{\left(NR+rX^{2}\right)^{2}}\\[5pt] \frac{di}{dX}=\frac{N^{2}ER+NErX^{2}-2NErX^{2}}{\left(NR+rX^{2}\right)^{2}}\\[5pt] \frac{di}{dX}=\frac{N^{2}ER-NErX^{2}}{\left(NR+rX^{2}\right)^{2}} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \frac{di}{dX}=\frac{N^{2}ER-NErX^{2}}{\left(NR+rX^{2}\right)^{2}}=0\\[5pt] N^{2}ER-NErX^{2}=0.\left(NR+rX^{2}\right)^{2}\\[5pt] N^{2}ER-NErX^{2}=0 \end{gather} \]
colocando NE em evidência do lado esquerdo da igualdade
\[ \begin{gather} NE\;(NR-rX^{2})=0\\[5pt] NR-rX^{2}=\frac{0}{NE}\\[5pt] rX^{2}=NR\\[5pt] X^{2}=\frac{NR}{r} \end{gather} \]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {X=\sqrt{\;\frac{R}{r}\;N\;}} \]

b) Usando a expressão (I) que dá o resistor equivalente aos resistores internos das baterias e substituindo o valor encontrado no item anterior
\[ \begin{gather} R_{eq}=\frac{\left(\sqrt{\;\dfrac{R}{r}\;N\;}\right)^{2}r}{N}\\[5pt] R_{eq}=\frac{\dfrac{R}{\cancel{r}}\;N\;\cancel{r}}{N}\\[5pt] R_{eq}=\frac{R\cancel{N}}{\cancel{N}} \end{gather} \]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {R_{\mathrm{{eq}}}=R} \]
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