Um arco de circunferência de raio a e ângulo central θ0 é carregado com uma carga
Q distribuída uniformemente ao longo do arco. Determine:
a) O vetor campo elétrico nos pontos da reta que passa pelo centro do arco e é perpendicular ao plano que
contém o arco;
b) O vetor campo elétrico no centro de curvatura do arco;
c) O vetor campo elétrico quando o ângulo central tende a zero.
Dados do problema:
- Raio do arco: a;
- Ângulo central do arco: θ0;
- Carga elétrica do arco: Q.
Esquema do problema:
O vetor posição
r vai de um elemento de carga
dq do aro até o ponto
P, onde se deseja
calcular o campo elétrico, o vetor
rq localiza o elemento de carga em relação à
origem do referencial e o vetor
rp localiza o ponto
P (Figura 1-A).
\[
\begin{gather}
\mathbf{r}={\mathbf{r}}_{p}-{\mathbf{r}}_{q}
\end{gather}
\]
Pela geometria do problema devemos escolher coordenadas cilíndricas (Figura 1-B), o vetor
rq, que está no plano
yz, é escrito como
\( {\mathbf{r}}_{q}=y\;\mathbf{j}+z\;\mathbf{k} \)
e o vetor
rp só possui componente na direção
i,
\( {\mathbf{r}}_{p}=x\;\mathbf{i} \)
(ao contrário do que se faz usualmente onde o vetor
rq está no plano
xy e o
eixo do cilindro na direção
k), o vetor posição será
\[
\begin{gather}
\mathbf{r}=x\;\mathbf{i}-\left(y\;\mathbf{j}+z\;\mathbf{k}\right)\\[5pt]
\mathbf{r}=x\;\mathbf{i}-y\;\mathbf{j}-z\;\mathbf{k} \tag{I}
\end{gather}
\]
Da expressão (I) o módulo do vetor posição
r será
\[
\begin{gather}
r^{2}=x^{2}+(-y)^{2}+(-z)^{2}\\[5pt]
r=\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac{1}{2}} \tag{II}
\end{gather}
\]
onde
x,
y e
z, em coordenadas cilíndricas, são dados por
\[
\begin{gather}
\left\{
\begin{array}{l}
x=x \\
y=a\cos \theta \\
z=a\operatorname{sen}\theta
\end{array}
\right. \tag{III}
\end{gather}
\]
Solução
a) O vetor campo elétrico é dado por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\mathbf{E}=\frac{1}{4\pi \epsilon_{0}}\int{\frac{dq}{r^{2}}\;\frac{\mathbf{r}}{r}}}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\mathbf{E}=\frac{1}{4\pi \epsilon _{0}}\int{\frac{dq}{r^{3}}\;\mathbf{r}} \tag{IV}
\end{gather}
\]
Da expressão da densidade linear de carga λ obtemos o elemento de carga
dq
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\lambda =\frac{dq}{ds}}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
dq=\lambda \;ds \tag{V}
\end{gather}
\]
onde
ds é um elemento de arco de ângulo
dθ do arco (Figura 2)
\[
\begin{gather}
ds=a\;d\theta \tag{VI}
\end{gather}
\]
substituindo a expressão (VI) na expressão (V)
\[
\begin{gather}
dq=\lambda a\;d\theta \tag{VII}
\end{gather}
\]
Figura 2
substituindo as expressões (I), (II) e (VII) na expressão (IV)
\[
\begin{gather}
\mathbf{E}=\frac{1}{4\pi \epsilon_{0}}\int {\frac{\lambda a\;d\theta}{\left[\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\;\frac{1}{2}}\right]^{\;3}}}\left(x\;\mathbf{i}-y\;\mathbf{j}-z\;\mathbf{k}\right)\\[5pt]
\mathbf{E}=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\int {\frac{\lambda a\;d\theta}{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\;\frac{3}{2}}}}\left(x\;\mathbf{i}-y\;\mathbf{j}-z\;\mathbf{k}\right) \tag{VIII}
\end{gather}
\]
substituindo as expressões de (III) na expressão (VIII)
\[
\begin{gather}
\mathbf{E}=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\int {\frac{\lambda a\;d\theta }{\left[\;x^{2}+\left(a\cos \theta\right)^{2}+\left(a\operatorname{sen}\theta\right)^{2}\right]^{\;\frac{3}{2}}}}\left(x\;\mathbf{i}-a\cos\theta\;\mathbf{j}-a\operatorname{sen}\theta\;\mathbf{k}\right)\\[5pt]
\mathbf{E}=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\int {\frac{\lambda a\;d\theta}{\left[x^{2}+a^{2}\cos^{2}\theta +a^{2}\operatorname{sen}^{2}\theta\;\right]^{\;\frac{3}{2}} }}\left(x\;\mathbf{i}-a\cos \theta\;\mathbf{j}-a\operatorname{sen}\theta\;\mathbf{k}\right)\\[5pt]
\mathbf{E}=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\int {\frac{\lambda a\;d\theta}{\left[x^{2}+a^{2}\underbrace{\left(\cos ^{2}\theta+\operatorname{sen}^{2}\theta\right)}_{1}\right]^{\;\frac{3}{2}}}\left(x\;\mathbf{i}-a\cos\theta\;\mathbf{j}-a\operatorname{sen}\theta\;\mathbf{k}\right)}\\[5pt]
\mathbf{E}=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\int {\frac{\lambda a\;d\theta}{\left(x^{2}+a^{2}\right)^{\;\frac{3}{2}}}\left(x\;\mathbf{i}-a\cos\theta\;\mathbf{j}-a\operatorname{sen}\theta\;\mathbf{k}\right)}
\end{gather}
\]
A densidade de carga λ e o raio
a são constantes eles podem “sair” da integral, e a integral
da soma igual à soma das integrais
\[
\begin{gather}
\mathbf{E}=\frac{1}{4\pi \epsilon_{0}}\frac{\lambda a}{\left(x^{2}+a^{2}\right)^{\;\frac{3}{2}}}\left(x\int d\theta\;\mathbf{i}-a\int \cos \theta d\theta\;\mathbf{j}-a\int \operatorname{sen}\theta \;d\theta\;\mathbf{k}\right)
\end{gather}
\]
Como existe simetria podemos dividir o ângulo central θ
0 em duas partes medindo
\( \frac{\theta_{0}}{2} \)
no sentido horário e
\( -{\frac{\theta_{0}}{2}} \)
no sentido anti-horário (Figura 3), os limites de integração serão
\( -{\frac{\theta_{0}}{2}} \)
e
\( \frac{\theta_{0}}{2} \)
\[
\begin{gather}
\mathbf{E}=\frac{1}{4\pi \epsilon_{0}}\frac{\lambda a}{\left(x^{2}+a^{2}\right)^{\;\frac{3}{2}}}\left(x\int_{-{\frac{\theta_{0}}{2}}}^{{\frac{\theta_{0}}{2}}}d\theta\;\mathbf{i}-a\int _{-{\frac{\theta_{0}}{2}}}^{{\frac{\theta_{0}}{2}}}\cos \theta \;d\theta\;\mathbf{j}-a\int_{-{\frac{\theta_{0}}{2}}}^{{\frac{\theta_{0}}{2}}}\operatorname{sen}\theta \;d\theta\;\mathbf{k}\right)
\end{gather}
\]
Figura 3
Integral de
\( \displaystyle \int_{-{\frac{\theta_{0}}{2}}}^{{\frac{\theta_{0}}{2}}}\;d\theta \)
\[
\begin{align}
\int_{-{\frac{\theta_{0}}{2}}}^{{\frac{\theta_{0}}{2}}}\;d\theta &=\frac{\theta_{0}}{2}-\left(-{\frac{\theta_{0}}{2}}\right)=\\
&=\frac{\theta_{0}}{2}+\frac{\theta_{0}}{2}=2\frac{\theta_{0}}{2}=\theta_{0}
\end{align}
\]
Integral de
\( \displaystyle \int_{-{\frac{\theta _{\;0}}{2}}}^{{\frac{\theta _{\;0}}{2}}}\cos\theta \;d\theta \)
\[
\begin{align}
\int_{-{\frac{\theta_{0}}{2}}}^{{\frac{\theta_{0}}{2}}}\cos \theta\;d\theta &=\left.\operatorname{sen}\theta \right|_{\;-\frac{\theta_{0}}{2}}^{\;\frac{\theta_{0}}{2}}=\\
&=\operatorname{sen}\frac{\theta_{0}}{2}-\operatorname{sen}\;\left(-{\frac{\theta_{0}}{2}}\right)
\end{align}
\]
a função seno é uma função ímpar
\( f(-x)=-f(x) \),
\( \operatorname{sen}\left(-{\dfrac{\theta_{0}}{2}}\right)=-\operatorname{sen}\dfrac{\theta_{0}}{2} \)
\[
\begin{align}
\int_{-{\frac{\theta_{0}}{2}}}^{{\frac{\theta_{0}}{2}}}\cos\theta \;d\theta &=\operatorname{sen}\frac{\theta_{0}}{2}-\left[-\operatorname{sen}\;\frac{\theta_{\;0}}{2}\right]=\\
&=\operatorname{sen}\frac{\theta_{\;0}}{2}+\operatorname{sen}\frac{\theta_{0}}{2}=2\;\operatorname{sen}\;\frac{\theta_{0}}{2}
\end{align}
\]
Integral de
\( \displaystyle \int_{-{\frac{\theta_{;0}}{2}}}^{{\frac{\theta_{\;0}}{2}}}\operatorname{sen}\theta \;d\theta \)
\[
\begin{align}
\int_{-{\frac{\theta_{0}}{2}}}^{{\frac{\theta_{0}}{2}}}\operatorname{sen}\theta \;d\theta &=\left.-\cos \theta\right|_{-\frac{\theta_{0}}{2}}^{\;\frac{\theta_{0}}{2}}=\\
&=-\left[\cos \frac{\theta_{0}}{2}-\cos \left(-{\frac{\theta_{0}}{2}}\right)\right]
\end{align}
\]
a função cosseno é uma função par
\( f(x)=f(-x) \),
\( \cos \left(-{\dfrac{\theta_{0}}{2}}\right)=\cos \dfrac{\theta_{0}}{2} \)
\[
\begin{gather}
\int_{-{\frac{\theta_{0}}{2}}}^{{\frac{\theta_{0}}{2}}}\operatorname{sen}\theta \;d\theta =-\left[\cos \frac{\theta_{0}}{2}-\cos \frac{\theta_{0}}{2}\right]=0
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\mathbf{E}=\frac{1}{4\pi \epsilon_{0}}\frac{\lambda a}{\left(x^{2}+a^{2}\right)^{\;\frac{3}{2}}}\left(x\theta_{0}\;\mathbf{i}-2a\operatorname{sen}\frac{\theta_{0}}{2}\;\mathbf{j}-0\;\mathbf{k}\right)\\[5pt]
\mathbf{E}=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\frac{\lambda a}{\left(x^{2}+a^{2}\right)^{\;\frac{3}{2}}}\left(x\theta_{0}\;\mathbf{i}-2a\operatorname{sen}\frac{\theta_{0}}{2}\;\mathbf{j}\right) \tag{IX}
\end{gather}
\]
Observação: A integral na direção
k é igual a zero, porque um elemento de carga
dq, produz num ponto, um elemento do campo que pode ser decomposto em elementos
dEx, −
dEy e
−
dEz (Figura 4-A). Um outro elemento de carga colocado numa posição
simétrica produz, no mesmo ponto, um outro elemento do campo que pode ser decomposto em elementos
dEx, −
dEy e
dEz (Figura 4-B), assim os elementos na direção
k se anulam e apenas
os elementos nas direções
i e
j contribuem para o campo total.
A carga total do arco é
Q e o seu comprimento é
aθ
0, assim a densidade linear
de carga pode ser escrita
\[
\begin{gather}
\lambda =\frac{Q}{a\theta_{0}} \tag{X}
\end{gather}
\]
substituindo a expressão (X) na expressão (IX)
\[
\begin{gather}
\mathbf{E}=\frac{1}{4\pi \epsilon_{0}}\frac{Q}{a\theta_{0}}\frac{a}{\left(x^{2}+a^{2}\right)^{\;\frac{3}{2}}}\left(x\theta_{0}\;\mathbf{i}-2a\operatorname{sen}\frac{\theta_{0}}{2}\;\mathbf{j}\right)\\[5pt]
\mathbf{E}=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\frac{Q}{\left(x^{2}+a^{2}\right)^{\;\frac{3}{2}}}\left(\frac{1}{\theta_{0}}x\theta_{0}\;\mathbf{i}-\frac{1}{\theta_{0}}2a\operatorname{sen}\frac{\theta_{0}}{2}\;\mathbf{j}\right)
\end{gather}
\]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px]
{\mathbf{E}=\frac{1}{4\pi \epsilon_{0}}\frac{Q}{\left(x^{2}+a^{2}\right)^{\;\frac{3}{2}}}\left(x\;\mathbf{i}-\frac{2a}{\theta_{0}}\operatorname{sen}\frac{\theta_{0}}{2}\;\mathbf{j}\right)}
\]
Figura 5
b) No centro de curvatura temos
x = 0, substituindo na solução do item anterior (Figura 6)
\[
\begin{gather}
\mathbf{E}=\frac{1}{4\pi \epsilon_{0}}\frac{Q}{\left(0^{2}+a^{2}\right)^{\;\frac{3}{2}}}\left(0\;\mathbf{i}-\frac{2a}{\theta_{0}}\operatorname{sen}\frac{\theta_{0}}{2}\;\mathbf{j}\right)\\[5pt]
\mathbf{E}=\frac{-{1}}{4\pi\epsilon _{0}}\frac{Q}{a^{3}}\frac{2a}{\theta_{0}}\operatorname{sen}\frac{\theta_{0}}{2}\;\mathbf{j}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{\mathbf{E}=\frac{-{1}}{4\pi \epsilon_{0}}\frac{Q}{a^{2}}\frac{2}{\theta_{0}}\operatorname{sen}\frac{\theta_{0}}{2}\;\mathbf{j}}
\end{gather}
\]
Figura 6
c) Quando o ângulo central tende a zero
(
\( \theta_{0}\rightarrow 0 \)),
o arco tende a uma carga pontual, aplicando o limite à solução do item anterior (Figura 7)
\[
\begin{gather}
\mathbf{E}=\underset{\theta_{0}\rightarrow0}{\lim }-\frac{1}{4\pi \epsilon_{0}}\;\frac{Q}{a^{2}}\frac{2}{\theta_{0}}\operatorname{sen}\frac{\theta_{\;0}}{2}\;\mathbf{j}
\end{gather}
\]
invertendo o termo
\( \frac{2}{\theta_{0}} \)
e passando para o denominador
\[
\begin{gather}
\mathbf{E}=\underset{\theta_{0}\rightarrow 0}{\lim}-{\frac{1}{4\pi \epsilon_{0}}\frac{Q}{a^{2}}\dfrac{\operatorname{sen}\dfrac{\theta_{0}}{2}}{\dfrac{\theta_{\;0}}{2}}\;\mathbf{j}}
\end{gather}
\]
Figura 7
lembrando do
Limite Fundamental
\( \underset{x\rightarrow 0}{\lim }{\dfrac{\operatorname{sen}x}{x}}=1 \)
\[
\begin{gather}
\mathbf{E}=-{\frac{1}{4\pi \epsilon_{0}}}\frac{Q}{a^{2}}\underbrace{\;\underset{\theta_{0}\rightarrow 0}{\lim }{\dfrac{\operatorname{sen}\dfrac{\theta_{0}}{2}}{\dfrac{\theta_{0}}{2}}}}_{1}\;\mathbf{j}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{\mathbf{E}=-{\frac{Q}{4\pi \epsilon_{0}a^{2}}}\;\mathbf{j}}
\end{gather}
\]
e o resultado se reduz ao vetor campo elétrico de uma carga pontual.