Exercício Resolvido de Força Elétrica e Campo Elétrico
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Um arco de circunferência de raio a e ângulo central θ0 é carregado com uma carga Q distribuída uniformemente ao longo do arco. Determine:
a) O vetor campo elétrico nos pontos da reta que passa pelo centro do arco e é perpendicular ao plano que contém o arco;
b) O vetor campo elétrico no centro de curvatura do arco;
c) O vetor campo elétrico quando o ângulo central tende a zero.


Dados do problema:
  • Raio do arco:    a;
  • Ângulo central do arco:    θ0;
  • Carga elétrica do arco:    Q.
Esquema do problema:

O vetor posição r vai de um elemento de carga dq do aro até o ponto P, onde se deseja calcular o campo elétrico, o vetor rq localiza o elemento de carga em relação à origem do referencial e o vetor rp localiza o ponto P (Figura 1-A).
\[ \begin{gather} \mathbf{r}={\mathbf{r}}_{p}-{\mathbf{r}}_{q} \end{gather} \]
Figura 1

Pela geometria do problema devemos escolher coordenadas cilíndricas (Figura 1-B), o vetor rq, que está no plano yz, é escrito como \( {\mathbf{r}}_{q}=y\;\mathbf{j}+z\;\mathbf{k} \) e o vetor rp só possui componente na direção i, \( {\mathbf{r}}_{p}=x\;\mathbf{i} \) (ao contrário do que se faz usualmente onde o vetor rq está no plano xy e o eixo do cilindro na direção k), o vetor posição será
\[ \begin{gather} \mathbf{r}=x\;\mathbf{i}-\left(y\;\mathbf{j}+z\;\mathbf{k}\right)\\[5pt] \mathbf{r}=x\;\mathbf{i}-y\;\mathbf{j}-z\;\mathbf{k} \tag{I} \end{gather} \]

Da expressão (I) o módulo do vetor posição r será
\[ \begin{gather} r^{2}=x^{2}+(-y)^{2}+(-z)^{2}\\[5pt] r=\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac{1}{2}} \tag{II} \end{gather} \]
onde x, y e z, em coordenadas cilíndricas, são dados por
\[ \begin{gather} \left\{ \begin{array}{l} x=x \\ y=a\cos \theta \\ z=a\operatorname{sen}\theta \end{array} \right. \tag{III} \end{gather} \]
Solução

a) O vetor campo elétrico é dado por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {\mathbf{E}=\frac{1}{4\pi \epsilon_{0}}\int{\frac{dq}{r^{2}}\;\frac{\mathbf{r}}{r}}} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \mathbf{E}=\frac{1}{4\pi \epsilon _{0}}\int{\frac{dq}{r^{3}}\;\mathbf{r}} \tag{IV} \end{gather} \]
Da expressão da densidade linear de carga λ obtemos o elemento de carga dq
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {\lambda =\frac{dq}{ds}} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} dq=\lambda \;ds \tag{V} \end{gather} \]
onde ds é um elemento de arco de ângulo dθ do arco (Figura 2)
\[ \begin{gather} ds=a\;d\theta \tag{VI} \end{gather} \]
substituindo a expressão (VI) na expressão (V)
\[ \begin{gather} dq=\lambda a\;d\theta \tag{VII} \end{gather} \]

Figura 2

substituindo as expressões (I), (II) e (VII) na expressão (IV)
\[ \begin{gather} \mathbf{E}=\frac{1}{4\pi \epsilon_{0}}\int {\frac{\lambda a\;d\theta}{\left[\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\;\frac{1}{2}}\right]^{\;3}}}\left(x\;\mathbf{i}-y\;\mathbf{j}-z\;\mathbf{k}\right)\\[5pt] \mathbf{E}=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\int {\frac{\lambda a\;d\theta}{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\;\frac{3}{2}}}}\left(x\;\mathbf{i}-y\;\mathbf{j}-z\;\mathbf{k}\right) \tag{VIII} \end{gather} \]
substituindo as expressões de (III) na expressão (VIII)
\[ \begin{gather} \mathbf{E}=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\int {\frac{\lambda a\;d\theta }{\left[\;x^{2}+\left(a\cos \theta\right)^{2}+\left(a\operatorname{sen}\theta\right)^{2}\right]^{\;\frac{3}{2}}}}\left(x\;\mathbf{i}-a\cos\theta\;\mathbf{j}-a\operatorname{sen}\theta\;\mathbf{k}\right)\\[5pt] \mathbf{E}=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\int {\frac{\lambda a\;d\theta}{\left[x^{2}+a^{2}\cos^{2}\theta +a^{2}\operatorname{sen}^{2}\theta\;\right]^{\;\frac{3}{2}} }}\left(x\;\mathbf{i}-a\cos \theta\;\mathbf{j}-a\operatorname{sen}\theta\;\mathbf{k}\right)\\[5pt] \mathbf{E}=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\int {\frac{\lambda a\;d\theta}{\left[x^{2}+a^{2}\underbrace{\left(\cos ^{2}\theta+\operatorname{sen}^{2}\theta\right)}_{1}\right]^{\;\frac{3}{2}}}\left(x\;\mathbf{i}-a\cos\theta\;\mathbf{j}-a\operatorname{sen}\theta\;\mathbf{k}\right)}\\[5pt] \mathbf{E}=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\int {\frac{\lambda a\;d\theta}{\left(x^{2}+a^{2}\right)^{\;\frac{3}{2}}}\left(x\;\mathbf{i}-a\cos\theta\;\mathbf{j}-a\operatorname{sen}\theta\;\mathbf{k}\right)} \end{gather} \]
A densidade de carga λ e o raio a são constantes eles podem “sair” da integral, e a integral da soma igual à soma das integrais
\[ \begin{gather} \mathbf{E}=\frac{1}{4\pi \epsilon_{0}}\frac{\lambda a}{\left(x^{2}+a^{2}\right)^{\;\frac{3}{2}}}\left(x\int d\theta\;\mathbf{i}-a\int \cos \theta d\theta\;\mathbf{j}-a\int \operatorname{sen}\theta \;d\theta\;\mathbf{k}\right) \end{gather} \]
Como existe simetria podemos dividir o ângulo central θ0 em duas partes medindo \( \frac{\theta_{0}}{2} \) no sentido horário e \( -{\frac{\theta_{0}}{2}} \) no sentido anti-horário (Figura 3), os limites de integração serão \( -{\frac{\theta_{0}}{2}} \) e \( \frac{\theta_{0}}{2} \)
\[ \begin{gather} \mathbf{E}=\frac{1}{4\pi \epsilon_{0}}\frac{\lambda a}{\left(x^{2}+a^{2}\right)^{\;\frac{3}{2}}}\left(x\int_{-{\frac{\theta_{0}}{2}}}^{{\frac{\theta_{0}}{2}}}d\theta\;\mathbf{i}-a\int _{-{\frac{\theta_{0}}{2}}}^{{\frac{\theta_{0}}{2}}}\cos \theta \;d\theta\;\mathbf{j}-a\int_{-{\frac{\theta_{0}}{2}}}^{{\frac{\theta_{0}}{2}}}\operatorname{sen}\theta \;d\theta\;\mathbf{k}\right) \end{gather} \]

Figura 3

Integral de    \( \displaystyle \int_{-{\frac{\theta_{0}}{2}}}^{{\frac{\theta_{0}}{2}}}\;d\theta \)
\[ \begin{align} \int_{-{\frac{\theta_{0}}{2}}}^{{\frac{\theta_{0}}{2}}}\;d\theta &=\frac{\theta_{0}}{2}-\left(-{\frac{\theta_{0}}{2}}\right)=\\ &=\frac{\theta_{0}}{2}+\frac{\theta_{0}}{2}=2\frac{\theta_{0}}{2}=\theta_{0} \end{align} \]

Integral de    \( \displaystyle \int_{-{\frac{\theta _{\;0}}{2}}}^{{\frac{\theta _{\;0}}{2}}}\cos\theta \;d\theta \)
\[ \begin{align} \int_{-{\frac{\theta_{0}}{2}}}^{{\frac{\theta_{0}}{2}}}\cos \theta\;d\theta &=\left.\operatorname{sen}\theta \right|_{\;-\frac{\theta_{0}}{2}}^{\;\frac{\theta_{0}}{2}}=\\ &=\operatorname{sen}\frac{\theta_{0}}{2}-\operatorname{sen}\;\left(-{\frac{\theta_{0}}{2}}\right) \end{align} \]
a função seno é uma função ímpar \( f(-x)=-f(x) \), \( \operatorname{sen}\left(-{\dfrac{\theta_{0}}{2}}\right)=-\operatorname{sen}\dfrac{\theta_{0}}{2} \)
\[ \begin{align} \int_{-{\frac{\theta_{0}}{2}}}^{{\frac{\theta_{0}}{2}}}\cos\theta \;d\theta &=\operatorname{sen}\frac{\theta_{0}}{2}-\left[-\operatorname{sen}\;\frac{\theta_{\;0}}{2}\right]=\\ &=\operatorname{sen}\frac{\theta_{\;0}}{2}+\operatorname{sen}\frac{\theta_{0}}{2}=2\;\operatorname{sen}\;\frac{\theta_{0}}{2} \end{align} \]

Integral de    \( \displaystyle \int_{-{\frac{\theta_{;0}}{2}}}^{{\frac{\theta_{\;0}}{2}}}\operatorname{sen}\theta \;d\theta \)
\[ \begin{align} \int_{-{\frac{\theta_{0}}{2}}}^{{\frac{\theta_{0}}{2}}}\operatorname{sen}\theta \;d\theta &=\left.-\cos \theta\right|_{-\frac{\theta_{0}}{2}}^{\;\frac{\theta_{0}}{2}}=\\ &=-\left[\cos \frac{\theta_{0}}{2}-\cos \left(-{\frac{\theta_{0}}{2}}\right)\right] \end{align} \]
a função cosseno é uma função par \( f(x)=f(-x) \), \( \cos \left(-{\dfrac{\theta_{0}}{2}}\right)=\cos \dfrac{\theta_{0}}{2} \)
\[ \begin{gather} \int_{-{\frac{\theta_{0}}{2}}}^{{\frac{\theta_{0}}{2}}}\operatorname{sen}\theta \;d\theta =-\left[\cos \frac{\theta_{0}}{2}-\cos \frac{\theta_{0}}{2}\right]=0 \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \mathbf{E}=\frac{1}{4\pi \epsilon_{0}}\frac{\lambda a}{\left(x^{2}+a^{2}\right)^{\;\frac{3}{2}}}\left(x\theta_{0}\;\mathbf{i}-2a\operatorname{sen}\frac{\theta_{0}}{2}\;\mathbf{j}-0\;\mathbf{k}\right)\\[5pt] \mathbf{E}=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\frac{\lambda a}{\left(x^{2}+a^{2}\right)^{\;\frac{3}{2}}}\left(x\theta_{0}\;\mathbf{i}-2a\operatorname{sen}\frac{\theta_{0}}{2}\;\mathbf{j}\right) \tag{IX} \end{gather} \]
Observação: A integral na direção k é igual a zero, porque um elemento de carga dq, produz num ponto, um elemento do campo que pode ser decomposto em elementos dEx, −dEy e −dEz (Figura 4-A). Um outro elemento de carga colocado numa posição simétrica produz, no mesmo ponto, um outro elemento do campo que pode ser decomposto em elementos dEx, −dEy e dEz (Figura 4-B), assim os elementos na direção k se anulam e apenas os elementos nas direções i e j contribuem para o campo total.

Figura 4

A carga total do arco é Q e o seu comprimento é aθ0, assim a densidade linear de carga pode ser escrita
\[ \begin{gather} \lambda =\frac{Q}{a\theta_{0}} \tag{X} \end{gather} \]
substituindo a expressão (X) na expressão (IX)
\[ \begin{gather} \mathbf{E}=\frac{1}{4\pi \epsilon_{0}}\frac{Q}{a\theta_{0}}\frac{a}{\left(x^{2}+a^{2}\right)^{\;\frac{3}{2}}}\left(x\theta_{0}\;\mathbf{i}-2a\operatorname{sen}\frac{\theta_{0}}{2}\;\mathbf{j}\right)\\[5pt] \mathbf{E}=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\frac{Q}{\left(x^{2}+a^{2}\right)^{\;\frac{3}{2}}}\left(\frac{1}{\theta_{0}}x\theta_{0}\;\mathbf{i}-\frac{1}{\theta_{0}}2a\operatorname{sen}\frac{\theta_{0}}{2}\;\mathbf{j}\right) \end{gather} \]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {\mathbf{E}=\frac{1}{4\pi \epsilon_{0}}\frac{Q}{\left(x^{2}+a^{2}\right)^{\;\frac{3}{2}}}\left(x\;\mathbf{i}-\frac{2a}{\theta_{0}}\operatorname{sen}\frac{\theta_{0}}{2}\;\mathbf{j}\right)} \]

Figura 5

b) No centro de curvatura temos x = 0, substituindo na solução do item anterior (Figura 6)

\[ \begin{gather} \mathbf{E}=\frac{1}{4\pi \epsilon_{0}}\frac{Q}{\left(0^{2}+a^{2}\right)^{\;\frac{3}{2}}}\left(0\;\mathbf{i}-\frac{2a}{\theta_{0}}\operatorname{sen}\frac{\theta_{0}}{2}\;\mathbf{j}\right)\\[5pt] \mathbf{E}=\frac{-{1}}{4\pi\epsilon _{0}}\frac{Q}{a^{3}}\frac{2a}{\theta_{0}}\operatorname{sen}\frac{\theta_{0}}{2}\;\mathbf{j} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {\mathbf{E}=\frac{-{1}}{4\pi \epsilon_{0}}\frac{Q}{a^{2}}\frac{2}{\theta_{0}}\operatorname{sen}\frac{\theta_{0}}{2}\;\mathbf{j}} \end{gather} \]

Figura 6

c) Quando o ângulo central tende a zero (\( \theta_{0}\rightarrow 0 \)), o arco tende a uma carga pontual, aplicando o limite à solução do item anterior (Figura 7)

\[ \begin{gather} \mathbf{E}=\underset{\theta_{0}\rightarrow0}{\lim }-\frac{1}{4\pi \epsilon_{0}}\;\frac{Q}{a^{2}}\frac{2}{\theta_{0}}\operatorname{sen}\frac{\theta_{\;0}}{2}\;\mathbf{j} \end{gather} \]
invertendo o termo   \( \frac{2}{\theta_{0}} \)   e passando para o denominador
\[ \begin{gather} \mathbf{E}=\underset{\theta_{0}\rightarrow 0}{\lim}-{\frac{1}{4\pi \epsilon_{0}}\frac{Q}{a^{2}}\dfrac{\operatorname{sen}\dfrac{\theta_{0}}{2}}{\dfrac{\theta_{\;0}}{2}}\;\mathbf{j}} \end{gather} \]

Figura 7

lembrando do Limite Fundamental   \( \underset{x\rightarrow 0}{\lim }{\dfrac{\operatorname{sen}x}{x}}=1 \)
\[ \begin{gather} \mathbf{E}=-{\frac{1}{4\pi \epsilon_{0}}}\frac{Q}{a^{2}}\underbrace{\;\underset{\theta_{0}\rightarrow 0}{\lim }{\dfrac{\operatorname{sen}\dfrac{\theta_{0}}{2}}{\dfrac{\theta_{0}}{2}}}}_{1}\;\mathbf{j} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {\mathbf{E}=-{\frac{Q}{4\pi \epsilon_{0}a^{2}}}\;\mathbf{j}} \end{gather} \]
e o resultado se reduz ao vetor campo elétrico de uma carga pontual.
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