Exercício Resolvido de Termodinâmica
publicidade   



Um gás perfeito ocupa inicialmente um volume V1, sob pressão p1 e a temperatura T1. Submete-se esse gás a uma expansão adiabática no fim da qual o gás ocupa um volume V2 nove vezes maior que o volume inicial, sob pressão p2 e a temperatura T2. Dada a relação entre a Capacidade Térmica a Pressão Constante e Capacidade Térmica a Volume Constante \( \left(\frac{C_{p}}{C_{V}} \right) \) igual a 1,5, calcular as relações \( \frac{p_{1}}{p_{2}} \) e \( \frac{T_{1}}{T_{2}} \).


Dados do problema:

Estado inicial Estado final
Volume:    V1 Volume:    V2 = 9V1
Pressão:    p1 Pressão:    p2
Temperatura:    T1 Temperatura:    T2
  • Relação entre a Capacidade Térmica a Pressão Constante e Capacidade Térmica a Volume Constante:    \( \frac{C_{p}}{C_{V}}=1,5 \).
Solução

Numa transformação adiabática (quando não há trocas de calor com o meio externo) vale a relação
\[ \bbox[#99CCFF,10px] {pV^{\gamma }=\text{constante}} \]
onde o expoente γ é dado pela relação \( \frac{C_{p}}{C_{V}} \).
Aplicando a expressão (I) para as situações inicial e final
\[ \begin{gather} p_{1}V_{1}^{\gamma }=p_{2}V_{2}^{\gamma}\\[5pt] p_{1}V_{1}^{\frac{C_{p}}{C_{v}}}=p_{2}V_{2}^{\frac{C_{p}}{C_{v}}} \end{gather} \]
substituindo os valores dados no problema
\[ p_{1}V_{1}^{1,5}=p_{2}9V_{1}^{1,5} \]
escrevendo \( 1,5=\frac{3}{2} \)
\[ \begin{gather} p_{1}V_{1}^{\frac{3}{2}}=p_{2}9V_{1}^{\frac{3}{2}}\\ \frac{p_{1}}{p_{2}}=\frac{9V_{1}^{\frac{3}{2}}}{V_{1}^{\frac{3}{2}}} \end{gather} \]
aplicando a propriedade de exponenciação \( \frac{a^{m}}{b^{m}}=\left(\frac{a}{b} \right)^{m} \) ao lado direito da igualdade
\[ \begin{gather} \frac{p_{1}}{p_{2}}=\left(\,\frac{9\cancel{V_{1}}}{\cancel{V_{1}}}\,\right)^{\frac{3}{2}}\\ \frac{p_{1}}{p_{2}}=9^{\frac{3}{2}} \end{gather} \]
Observação: Representação de \( 9^{\frac{3}{2}} \):

1.º método: Aplicando a propriedade de exponenciação \( a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[{n\,}]{\,a^{m}\,} \)
\[ \sqrt{9^{3}\,}=\sqrt{729\,}=27 \]
2.º método: escrevendo \( 9=3^{2} \)
\[ 9^{\frac{3}{2}}=(3^{2})^{\frac{3}{2}} \]
aplicando a propriedade de exponenciação \( \left(a^{m} \right)^{n}=a^{m.n} \) ao lado direito da igualdade
\[ \begin{gather} 9^{\frac{3}{2}}=3^{\,\cancel{2}.\frac{3}{\cancel{2}}}\\ 9^{\frac{3}{2}}=3^{\,3}\\ 9^{\frac{3}{2}}=27 \end{gather} \]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {\frac{p_{1}}{p_{2}}=27} \]
Escrevendo a Equação Geral dos Gases para as situações inicial e final
\[ \bbox[#99CCFF,10px] {\frac{p_{1}V_{1}}{T_{1}}=\frac{p_{2}V_{2}}{T_{2}}} \]
\[ \frac{p_{1}V_{1}}{p_{2}V_{2}}=\frac{T_{1}}{T_{2}} \]
substituindo o valor de V2 dado no problema e o valor de \( \frac{p_{1}}{p_{2}} \) encontrado acima
\[ \frac{T_{1}}{T_{2}}=27\,\frac{\cancel{V_{1}}}{9\cancel{V_{1}}} \]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {\frac{T_{1}}{T_{2}}=3} \]
publicidade   

Licença Creative Commons
Fisicaexe - Exercícios Resolvidos de Física de Elcio Brandani Mondadori está licenciado com uma Licença Creative Commons - Atribuição-NãoComercial-Compartilha Igual 4.0 Internacional .