Um gás perfeito ocupa inicialmente um volume
V1, sob pressão
p1 e a
temperatura
T1. Submete-se esse gás a uma expansão adiabática no fim da qual o gás ocupa um volume
V2 nove vezes maior que o volume inicial, sob pressão
p2 e a temperatura
T2. Dada a relação entre a
Capacidade Térmica a Pressão Constante e
Capacidade Térmica a Volume Constante
\( \left(\frac{C_{p}}{C_{V}} \right) \)
igual a 1,5, calcular as relações
\( \frac{p_{1}}{p_{2}} \)
e
\( \frac{T_{1}}{T_{2}} \).
Dados do problema:
Estado inicial |
Estado final |
Volume: V1 |
Volume: V2 = 9V1 |
Pressão: p1 |
Pressão: p2 |
Temperatura: T1 |
Temperatura: T2 |
-
Relação entre a Capacidade Térmica a Pressão Constante e
Capacidade Térmica a Volume Constante: \( \frac{C_{p}}{C_{V}}=1,5 \).
Solução
Numa transformação adiabática (quando não há trocas de calor com o meio externo) vale a relação
\[ \bbox[#99CCFF,10px]
{pV^{\gamma }=\text{constante}}
\]
onde o expoente γ é dado pela relação
\( \frac{C_{p}}{C_{V}} \).
Aplicando a expressão (I) para as situações inicial e final
\[
\begin{gather}
p_{1}V_{1}^{\gamma }=p_{2}V_{2}^{\gamma}\\[5pt]
p_{1}V_{1}^{\frac{C_{p}}{C_{v}}}=p_{2}V_{2}^{\frac{C_{p}}{C_{v}}}
\end{gather}
\]
substituindo os valores dados no problema
\[
p_{1}V_{1}^{1,5}=p_{2}9V_{1}^{1,5}
\]
escrevendo
\( 1,5=\frac{3}{2} \)
\[
\begin{gather}
p_{1}V_{1}^{\frac{3}{2}}=p_{2}9V_{1}^{\frac{3}{2}}\\
\frac{p_{1}}{p_{2}}=\frac{9V_{1}^{\frac{3}{2}}}{V_{1}^{\frac{3}{2}}}
\end{gather}
\]
aplicando a propriedade de exponenciação
\( \frac{a^{m}}{b^{m}}=\left(\frac{a}{b} \right)^{m} \)
ao lado direito da igualdade
\[
\begin{gather}
\frac{p_{1}}{p_{2}}=\left(\,\frac{9\cancel{V_{1}}}{\cancel{V_{1}}}\,\right)^{\frac{3}{2}}\\
\frac{p_{1}}{p_{2}}=9^{\frac{3}{2}}
\end{gather}
\]
Observação:
Representação de
\( 9^{\frac{3}{2}} \):
1.º método: Aplicando a propriedade de exponenciação
\( a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[{n\,}]{\,a^{m}\,} \)
\[
\sqrt{9^{3}\,}=\sqrt{729\,}=27
\]
2.º método: escrevendo
\( 9=3^{2} \)
\[
9^{\frac{3}{2}}=(3^{2})^{\frac{3}{2}}
\]
aplicando a propriedade de exponenciação
\( \left(a^{m} \right)^{n}=a^{m.n} \)
ao lado direito da igualdade
\[
\begin{gather}
9^{\frac{3}{2}}=3^{\,\cancel{2}.\frac{3}{\cancel{2}}}\\
9^{\frac{3}{2}}=3^{\,3}\\
9^{\frac{3}{2}}=27
\end{gather}
\]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px]
{\frac{p_{1}}{p_{2}}=27}
\]
Escrevendo a
Equação Geral dos Gases para as situações inicial e final
\[ \bbox[#99CCFF,10px]
{\frac{p_{1}V_{1}}{T_{1}}=\frac{p_{2}V_{2}}{T_{2}}}
\]
\[
\frac{p_{1}V_{1}}{p_{2}V_{2}}=\frac{T_{1}}{T_{2}}
\]
substituindo o valor de
V2 dado no problema e o valor de
\( \frac{p_{1}}{p_{2}} \)
encontrado acima
\[
\frac{T_{1}}{T_{2}}=27\,\frac{\cancel{V_{1}}}{9\cancel{V_{1}}}
\]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px]
{\frac{T_{1}}{T_{2}}=3}
\]