Exercício Resolvido de Termodinâmica
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Um gás sofre uma transformação, mostrada no gráfico p=f(T). Sendo a Constante universal dos gases perfeitos R=8,31 J/mol.K, o número de mols do gás n=5, o calor molar do gás a volume constante CV=5 cal/mol.K e 1 cal=4,18 J. Determine:
a) A transformação sofrida pelo gás;
b) O volume do gás durante o processo;
c) A quantidade de calor que o gás recebe durante a transformação;
d) A variação da energia interna do gás nessa transformação.


Dados do problema:
  • Número de mols do gás:    n = 5 mol;
  • Calor molar do gás a volume constante:    CV = 5 cal/mol.K;
  • Constante universal dos gases perfeitos:    R = 8,31 J/mol.K;
  • Equivalente mecânico do calor:    1 cal = 4,18 J.
Solução

a) Usando a Lei dos Gases durante uma transformação   \( \dfrac{pV}{T}=k \),   onde k é constante, escrevendo   \( p=\dfrac{k}{V}T \),   vemos no gráfico que a transformação é linear, então   \( \dfrac{k}{V} \)   é constante, portanto V também é constante e a transformação é isométrica (ou isovolumétrica, ou isocórica).

Observação: A expressão   \( p=\frac{k}{V}T \)   que caracteriza a transformação isométrica é uma função de 1.° Grau do tipo   \( y=ax+b \),   onde podemos fazer as seguintes associações
\[ \begin{array}{c} y & = & a & x & + & b \\ {\color{red}\downarrow} & & {\color{red}\downarrow} & {\color{red}\downarrow} & & {\color{red}\downarrow} \\ p & = & \dfrac{k}{V} & T & + & 0 \end{array} \]


b) A partir do gráfico obtemos o par de valores T = 500 K e p = 2000 N/m2, utilizando a Equação de Clapeyron
\[ \bbox[#99CCFF,10px] {pV=nRT} \]
e os dados do problema
\[ \begin{gather} 2000V=5.8,31.500\\ V=\frac{20775}{2000} \end{gather} \]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {V=10,4\;\text{m}^{3}} \]

c) A quantidade de calor recebida pelo gás é dada por
\[ \bbox[#99CCFF,10px] {Q=nC_{V}\Delta T} \]
A temperatura inicial do gás é de T1 = 200 K e a temperatura final de T2 = 500 K, portanto a variação da temperatura será de \( \Delta T=T_{2}-T_{1}=500-200=300\;\text{K} \)
\( \Delta T=T_{2}-T_{1}=500-200=300\;\text{K} \)
e utilizando os outros dados do problema
\[ \begin{gather} Q=5.5.300\\ Q=7500\;\text{cal} \end{gather} \]
convertendo este valor para Joules
\[ Q=7500\;\cancel{\text{cal}}.\frac{4,18\;\text{J}}{1\;\cancel{\text{cal}}} \]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {Q=31350\;\text{J}} \]

d) Usando Primeira Lei da Termodinâmica
\[ \bbox[#99CCFF,10px] {\Delta U=Q-W} \]
o trabalho W é dado por
\[ \bbox[#99CCFF,10px] {W=p\Delta V} \]
mas a transformação é isométrica, assim ΔV é igual a zero, e temos que ΔU = Q
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {\Delta U=31350\;\text{J}} \]
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