Exercício Resolvido de Termodinâmica
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Um gás perfeito tem um volume inicial de 3,0 litros. Expande-se isotermicamente a 300 kelvins até que seu volume dobre. Se a expansão tivesse ocorrido a 600 kelvins, qual a relação entre os trabalhos realizados pelo gás?


Dados do problema:
  • Volume inicial:    V1 = 3,0 ℓ;
  • Volume final:    V2 = 6,0 ℓ;
  • Temperatura da primeira expansão:    T1 = 300 K;
  • Temperatura da segunda expansão:    T2 = 600 K.
Esquema do problema:

O gráfico de uma transformação isotérmica é uma hipérbole, com a curva da temperatura mais alta em uma posição mais afastada dos eixos P e V.
Gráfico 1

Solução

O trabalho \( \large{\tau} \) será calculado pela área sob a curva do Gráfico 1 entre os volumes, inicial (V1) e final V2, para uma transformação isotérmica está área é calculada pela seguinte fórmula
\[ \bbox[#99CCFF,10px] {\large{\tau} =nRT\ln \left(\,\frac{V_{2}}{V_{1}}\,\right)} \]
Para a transformação à temperatura de 300 K o trabalho será, pelo Gráfico 2
\[ \begin{gather} {\large{\tau}}_{1}=nRT\ln\left(\frac{V_{2}}{V_{1}}\right)\\ {\large{\tau}}_{1}=300nR\ln\left(\frac{6,0}{3,0}\right) \tag{I} \end{gather} \]
representado pela área em cinza sob a isoterma de T1=300 K (em azul no gráfico).
Gráfico 2

Para a transformação à temperatura de 600 K o trabalho será, pelo Gráfico 3
\[ \begin{gather} {\large{\tau}}_{2}=nRT\ln\left(\frac{V_{2}}{V_{1}}\right)\\ {\large{\tau}}_{2}=600nR\ln\left(\frac{6,0}{3,0}\right) \tag{II} \end{gather} \]
representado pela área em cinza sob a isoterma de T2=600 K (em vermelho no gráfico).
Gráfico 3

A relação entre os trabalhos nas duas transformações é dada dividindo-se a expressão (I) pela expressão (II)
\[ \begin{gather} \frac{{\large{\tau}}_{2}}{{\large{\tau} }_{1}}=\frac{600\cancel{n}\cancel{R}\cancel{\ln\left(\dfrac{6,0}{3,0}\right)}}{300\cancel{n}\cancel{R}\cancel{\ln\left(\dfrac{6,0}{3,0}\right)}}\\ \frac{{\large{\tau}}_{2}}{{\large{\tau}}_{1}}=\frac{600}{300} \end{gather} \]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {\frac{{\large{\tau} }_{2}}{{\large{\tau} }_{1}}=2} \]
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