Exercício Resolvido de Calorimetria
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Três líquidos A, B e C encontram-se respectivamente a 10 °C, 24 °C e 40 °C. Sabe- se que:
a) Misturando-se massas iguais de A e B a temperatura final é 14 °C;
b) Misturando-se massas de A e C na proporção de mA:mC = 2:3 a temperatura final é de 30 °C.
Calcular qual será a temperatura de equilíbrio da mistura de B e C na proporção de mB:mC = 1:2.


Dados do problema:
  • Temperatura inicial do líquido A;    tA = 10 °C;
  • Temperatura inicial do líquido B;    tB = 24 °C;
  • Temperatura inicial do líquido C;    tC = 40 °C;
  • Mistura (a):
    • Massa do líquido A:    mA = m;
    • Massa do líquido B:    mB = m;
    • Temperatura de equilíbrio entre A e B:    tAB = 14 °C;
  • Mistura (b):
    • Proporção entre as massas dos líquidos A e C:    \( m_{A}=\frac{2}{3}m_{C} \);
    • Temperatura de equilíbrio entre A e C:    tAC = 30 °C.
Solução

Quando os líquidos são misturados, o líquido mais frio ganha calor e aumenta a temperatura e o líquido mais quente perde calor para o mais frio, a temperatura diminui até que ambos atinjam a mesma temperatura (temperatura de equilíbrio), a equação do calor sensível é dada por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {Q=mc\left(t_{eq}-t_{0}\right)} \tag{I} \end{gather} \]
onde c é o calor específico de cada líquido. Na mistura (a) escrevendo a expressão (I) para cada um dos líquidos
\[ \begin{gather} Q_{A}=m_{A}c_{A}\left(t_{AB}-t_{A}\right)\\ Q_{A}=mc_{A}\left(14-10\right)\\ Q_{A}=4mc_{A} \tag{II} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} Q_{B}=m_{B}c_{B}\left(t_{AB}-t_{B}\right)\\ Q_{B}=mc_{B}\left(14-24\right)\\ Q_{B}=-10mc_{B} \tag{III} \end{gather} \]
Considerando as trocas de calor do sistema com o universo desprezíveis, o sistema está isolado e só há troca de calor entre os líquidos, como o calor é energia em trânsito podemos usar a Conservação da Energia, a somatória dos calores trocados é igual a zero num sistema termicamente isolado, com as expressões (II) e (III)
\[ \begin{gather} \sum Q=0\\[5pt] Q_{A}+Q_{B}=0\\[5pt] 4mc_{A}+\left(-10mc_{B}\right)=0\\[5pt] 4mc_{A}-10mc_{B}=0\\[5pt] 4mc_{A}=10mc_{B}\\[5pt] 4mc_{A}=10mc_{B}\\[5pt] \frac{c_{A}}{c_{B}}=\frac{10\cancel{m}}{4\cancel{m}}\\[5pt] \frac{c_{A}}{c_{B}}=\frac{5}{2} \tag{IV} \end{gather} \]
Na mistura (b) escrevendo a expressão do calor sensível para cada um dos líquidos e usando a proporção de massas dada no problema
\[ \begin{gather} Q_{A}=m_{A}c_{A}\left(t_{AC}-t_{A}\right)\\[5pt] Q_{A}=\frac{2}{3}m_{C}c_{A}\left(30-10\right)\\[5pt] Q_{A}=\frac{2}{3}m_{C}c_{A}.20\\[5pt] Q_{A}=\frac{40}{3}m_{C}c_{A} \tag{V} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} Q_{C}=m_{C}c_{C}\left(t_{AC}-t_{C}\right)\\[5pt] Q_{C}=m_{C}c_{C}\left(30-40\right)\\[5pt] Q_{C}=-10m_{C}c_{C} \tag{VI} \end{gather} \]
Usando a Conservação da Energia novamente, aplicando às expressões (V) e (VI)
\[ \begin{gather} \sum Q=0\\[5pt] Q_{A}+Q_{C}=0\\[5pt] \frac{40}{3}m_{C}c_{A}+\left(-10m_{C}c_{C}\right)=0\\[5pt] \frac{40}{3}m_{C}c_{A}-10m_{C}c_{C}=0\\[5pt] \frac{40}{3}m_{C}c_{A}=10m_{C}c_{C}\\[5pt] \frac{c_{A}}{c_{C}}=\frac{3.10m_{C}}{40m_{C}}\\[5pt] \frac{c_{A}}{c_{C}}=\frac{30\cancel{m_{C}}}{40\cancel{m_{C}}}\\[5pt] \frac{c_{A}}{c_{C}}=\frac{3}{4} \tag{VII} \end{gather} \]
Para a mistura dos líquidos B e C, escrevendo a expressão do calor sensível, onde a proporção entre as massas dos líquidos é de \( m_{B}=\frac{1}{2}m_{C} \)
\[ \begin{gather} Q_{B}=m_{B}c_{B}\left(t_{BC}-t_{B}\right)\\ Q_{B}=\frac{1}{2}m_{C}c_{B}\left(t_{BC}-24\;\right) \tag{VIII} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} Q_{C}=m_{C}c_{C}\left(t_{BC}-t_{C}\right)\\ Q_{C}=m_{C}c_{C}\left(t_{BC}-40\right) \tag{IX} \end{gather} \]
Usando a Conservação da Energia novamente, aplicando às expressões (VIII) e (IX)
\[ \begin{gather} \sum Q=0\\ Q_{B}+Q_{C}=0\\ \frac{1}{2}m_{C}c_{B}\left(t_{BC}-24\right)+m_{C}c_{C}\left(t_{BC}-40\right)=0\\ \frac{1}{2}m_{C}c_{B}\left(t_{BC}-24\right)=-m_{C}c_{C}\left(t_{BC}-40\right)\\ \frac{1}{2}m_{C}c_{B}\left(t_{BC}-24\right)=m_{C}c_{C}\left(40-t_{BC}\right) \tag{X} \end{gather} \]
Das expressões (IV) e (VII) obtemos os valores dos calores específicos dos líquidos B e C em função do calor específico do líquido A
\[ \frac{c_{A}}{c_{B}}=\frac{5}{2}\Rightarrow c_{B}=\frac{2}{5}c_{A} \]
\[ \frac{c_{A}}{c_{C}}=\frac{3}{4}\Rightarrow c_{C}=\frac{4}{3}c_{A} \]
substituindo estes valores na expressão (X)
\[ \begin{gather} \frac{1}{\cancel{2}}\cancel{m_{C}}\frac{\cancel{2}}{5}\cancel{c_{A}}\left(t_{BC}-24\right)=\cancel{m_{C}}\frac{4}{3}\cancel{c_{A}}\left(40-t_{BC}\;\right)\\[5pt] \frac{1}{5}\left(t_{BC}-24\right)=\frac{4}{3}\left(40-t_{BC}\right)\\[5pt] t_{BC}-24=\frac{5.4}{3}\left(40-t_{BC}\right)\\[5pt] t_{BC}-24=\frac{20}{3}\left(40-t_{BC}\;\right)\\[5pt] t_{BC}-24=\frac{20}{3}.40-\frac{20}{3}t_{BC}\\[5pt] t_{BC}-24=\frac{800}{3}-\frac{20}{3}t_{BC}\\[5pt] t_{BC}+\frac{20}{3}t_{BC}=\frac{800}{3}+24 \end{gather} \]
colocando o valor de tBC em evidência do lado esquerdo da igualdade
\[ t_{BC}\left(1+\frac{20}{3}\right)=\frac{800}{3}+24 \]
do lado esquerdo da igualdade multiplicando e dividindo o primeiro termo entre parênteses por 3 e do lado direito da igualdade multiplicando e dividindo o segundo termo por 3
\[ \begin{gather} t_{BC}\left(1.\frac{3}{3}+\frac{20}{3}\right)=\frac{800}{3}+24.\frac{3}{3}\\ t_{BC}\left(\frac{3+20}{3}\right)=\frac{800+72}{3}\\ \frac{23}{\cancel{3}}t_{BC}=\frac{872}{\cancel{3}}\\ 23t_{BC}=872\\ t_{BC}=\frac{872}{23} \end{gather} \]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {t_{BC}=37,9 °\text{C}} \]
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