Exercício Resolvido de Pêndulos
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Um pêndulo simples oscila com período T, um prego é colocado de modo que à direita ele oscila com
o fio com comprimento total e a esquerda oscila com o fio com um comprimento reduzido devido ao prego.
Calcular o período do pêndulo assim obtido.
Dados do problema:
- Período do pêndulo inicial: T;
- Comprimento do fio do pêndulo inicial: L = 40 cm.
O período de um pêndulo simples é dado por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{T=2\pi \sqrt{\frac{L}{g}\;}} \tag{I}
\end{gather}
\]
O pêndulo oscila originalmente, sem o prego (Figura 1), com período dado pela expressão (I)
\[
\begin{gather}
T=2\pi \sqrt{\frac{40}{g}\;} \tag{II}
\end{gather}
\]
Quando o prego é colocado o comprimento do fio é reduzido de 30 cm, assim o novo comprimento
(LR) será
Figura 1
\[
\begin{gather}
L_{R}=L-30\\[5pt]
L_{R}=40-30\\[5pt]
L_{R}=10\;\text{cm}
\end{gather}
\]
Se esse pêndulo com fio reduzido oscilasse apenas preso pelo prego (Figura 2) o seu período seria, pela
expressão (I)
\[
\begin{gather}
T_{R}=2\pi \sqrt{\frac{10}{g}\;} \tag{III}
\end{gather}
\]
O sistema oscila na metade direita com metade do período dado pela expressão (II) e na metade esquerda
com metade do período dado pela expressão (III), assim temos os novos períodos (Figura 3)
\[
\begin{gather}
T_{1}=\frac{T}{2} \tag{IV}
\end{gather}
\]
Figura 2
\[
\begin{gather}
T_{2}=\frac{T_{R}}{2}\\[5pt]
T_{2}=\frac{2\pi\sqrt{\dfrac{10}{g}\;}}{2}
\end{gather}
\]
multiplicando e dividindo o numerador por 2
Figura 3
\[
\begin{gather}
T_{2}=\frac{2\pi\sqrt{\dfrac{10}{g}\;}.\dfrac{2}{2}}{2}\\[5pt]
T_{2}=2\pi\sqrt{\frac{10.2^{2}}{g}\;}.\frac{1}{2}.\frac{1}{2}\\[5pt]
T_{2}=2\pi\sqrt{\frac{10.4}{g}\;}.\frac{1}{4}\\[5pt]
T_{2}=2\pi\sqrt{\frac{40}{g}\;}.\frac{1}{4}\\[5pt]
T_{2}=T\frac{1}{4}\\[5pt]
T_{2}=\frac{T}{4} \tag{V}
\end{gather}
\]
Assim o período de oscilação do sistema (TS) será dado pela soma das expressões (IV) e (V)
\[
\begin{gather}
T_{S}=T_{1}+T_{2}\\[5pt]
T_{S}=\frac{T}{2}+\frac{T}{4}
\end{gather}
\]
multiplicando por 2 o numerador e o denominador da primeira fração do lado direito da igualdade
\[
\begin{gather}
T_{S}=\frac{T}{2}.\frac{2}{2}+\frac{T}{4}\\[5pt]
T_{S}=\frac{2T+T}{4}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{T_{S}=\frac{3}{4}T}
\end{gather}
\]
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