Exercício Resolvido de Movimento Harmônico Simples (M.H.S.)
publicidade
Um ponto material executa um Movimento Harmônico Simples, e tem num determinado instante sua velocidade é de 8 cm/s. Sabendo-se que nesse instante a diferença entre os quadrados de sua amplitude e de sua elongação é de 36 cm, determinar sua frequência angular.
Dados do problema:
- Velocidade do ponto num instante t: v = 8 cm/s;
- Diferença entre os quadrados da amplitude e da elongação: A2 − x2 = 36.
A elongação de um ponto em Movimento Harmônico Simples (M.H.S.) é dado por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{x=A\cos (\omega t-\varphi)} \tag{I}
\end{gather}
\]
elevando a expressão (I) ao quadrado de ambos os lados da igualdade
\[
\begin{gather}
x^{2}=A^{2}\cos ^{2}(\omega t-\varphi) \tag{II}
\end{gather}
\]
substituindo a expressão (II) na condição dada no problema
\[
A^{2}-A^{2}\cos ^{2}(\omega t-\varphi)=36
\]
colocando a amplitude ao quadrado (A2) em evidência
\[
\begin{gather}
A^{2}\left[1-\cos ^{2}(\omega t-\varphi)\right]=36 \tag{III}
\end{gather}
\]
Lembrando da Trigonometria
\[
\begin{gather}
\operatorname{sen}^{2}a+\cos ^{2}a=1\\
\operatorname{sen}^{2}a=1-\cos ^{2}a
\end{gather}
\]
usando esta propriedade na expressão (III)
\[
\begin{gather}
A^{2}\operatorname{sen}^{2}(\omega t-\varphi)=36 \tag{IV}
\end{gather}
\]
A velocidade é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{v=-\omega A\operatorname{sen}(\omega t-\varphi)} \tag{V}
\end{gather}
\]
Elevando a expressão (V) ao quadrado de ambos os lados da igualdade
\[
\begin{gather}
v^{2}=\omega ^{2}A^{2}\operatorname{sen}^{2}(\omega t-\varphi)\\
A^{2}\operatorname{sen}^{2}(\omega t-\varphi)=\frac{v^{2}}{\omega^{2}} \tag{VI}
\end{gather}
\]
substituindo a expressão (VI) na expressão (IV) e o valor da velocidade dada no problema
\[
\begin{gather}
\frac{8^{2}}{\omega ^{2}}=36\\
\omega^{2}=\frac{64}{3}6\\
\omega =\sqrt{\frac{64}{36}\;}\\
\omega=\frac{8}{6}
\end{gather}
\]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px]
{\omega =\frac{4}{3}\;\text{rad/s}}
\]
publicidade
Fisicaexe - Exercícios Resolvidos de Física de Elcio Brandani Mondadori está licenciado com uma Licença Creative Commons - Atribuição-NãoComercial-Compartilha Igual 4.0 Internacional .