O movimento de um corpo sobre o eixo-
x obedece a seguinte equação
\[
x=4\cos \left(\frac{1}{2}\pi t+\pi \right)
\]
unidades no
S.I. Determinar:
a) A amplitude, a frequência angular e a fase inicial;
b) O período e a frequência do movimento;
c) A equação da velocidade;
d) A equação da aceleração;
e) Os módulos da velocidade máxima e da aceleração máxima;
f) Representar num mesmo gráfico a elongação, a velocidade e a aceleração em função do tempo.
Solução
A equação da posição é dada por
\[ \bbox[#99CCFF,10px]
{x=A\cos \left(\omega t+\phi _{0}\right)}
\]
a) Da equação temos, para a amplitude
\[ \bbox[#FFCCCC,10px]
{A=4\;\text{m}}
\]
para a frequência angular
\[ \bbox[#FFCCCC,10px]
{\omega =\frac{1}{2}\pi \;\text{rad/s}}
\]
e para a fase inicial
\[ \bbox[#FFCCCC,10px]
{\phi _{0}=\pi \;\text{rad}}
\]
b) A frequência angular é dada por
\[ \bbox[#99CCFF,10px]
{\omega =\frac{2\pi }{T}}
\]
invertendo esta fórmula temos o período
\[
\begin{gather}
T=\frac{2\pi }{\omega}\\
T=\frac{2\cancel{\pi}}{\dfrac{1}{2}\cancel{\pi}}\\
T=2.2
\end{gather}
\]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px]
{T=4\;\text{s}}
\]
A frequência do movimento é dada por
\[ \bbox[#99CCFF,10px]
{f=\frac{1}{T}}
\]
\[
f=\frac{1}{4}
\]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px]
{f=0,25\;\text{Hz}}
\]
c) A equação da velocidade é dada por
\[ \bbox[#99CCFF,10px]
{v=-\omega A\operatorname{sen}\left(\omega t+\phi _{0}\right)}
\]
\[
v=-{\frac{1}{2}}\pi .4\operatorname{sen}\left(\frac{1}{2}\pi t+\pi \right)
\]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px]
{v=-2\pi \operatorname{sen}\left(\frac{1}{2}\pi t+\pi \right)}
\]
d) A equação da aceleração é dada por
\[ \bbox[#99CCFF,10px]
{a=-\omega ^{2}A\cos \left(\omega t+\phi _{0}\right)}
\]
\[
\begin{gather}
a=-\left(\frac{1}{2}\pi \right)^{2}.4\cos\left(\frac{1}{2}\pi t+\pi \right)\\
a=-{\frac{1}{4}}\pi ^{2}.4\cos\left(\frac{1}{2}\pi t+\pi \right)
\end{gather}
\]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px]
{a=-\pi ^{2}\cos \left(\frac{1}{2}\pi t+\pi \right)}
\]
e) O módulo da velocidade máxima ocorre quando
\( \operatorname{sen}\left(\frac{1}{2}\pi t+\pi \right)=1 \),
portanto
\[
\begin{gather}
\left|v\right|_{max}=\left|-2\pi\underbrace{\operatorname{sen}\left(\frac{1}{2}\pi t+\pi\right)}_{1}\right|\\
\left|v\right|_{max}=\left|-2\pi
\right|
\end{gather}
\]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px]
{\left|v\right|_{max}=2\pi \;\text{m/s}}
\]
O módulo da aceleração máxima ocorre quando
\( \cos \left(\frac{1}{2}\pi t+\pi \right)=1 \),
portanto
\[
\begin{gather}
\left|a\right|_{max}=\left|-\pi^{2}\underbrace{\cos \left(\frac{1}{2}\pi t+\pi\right)}_{1}\right|\\
\left|a\right|_{max}=\left|-\pi^{2}\right|
\end{gather}
\]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px]
{\left|a\right|_{max}=\pi^{2}}
\]
f) Construindo-se uma tabela usando a expressão para a posição dada no problema, teremos
t |
\( x=4\cos \left(\frac{1}{2}\pi t+\pi \right) \) |
x |
0 |
\( 4\cos \left(\frac{1}{2}\pi .0+\pi \right) \) |
−4 |
1 |
\( 4\cos \left(\frac{1}{2}\pi .1+\pi \right) \) |
0 |
2 |
\( 4\cos \left(\frac{1}{2}\pi .2+\pi \right) \) |
4 |
3 |
\( 4\cos \left(\frac{1}{2}\pi .3+\pi \right) \) |
0 |
4 |
\( 4\cos \left(\frac{1}{2}\pi .4+\pi \right) \) |
−4 |
Tabela 1
Colocando os pontos encontrados num gráfico de
x em função de
t,
x =
f(
t), e
ligando os pontos, obtemos o gráfico de uma senóide (Gráfico 1)
Construindo-se uma tabela usando a expressão para a velocidade obtida no item (c), teremos
t |
\( v=-2\pi \operatorname{sen}\left(\frac{1}{2}\pi t+\pi \right) \) |
v |
0 |
\( -2\pi \operatorname{sen}\left(\frac{1}{2}\pi .0+\pi \right) \) |
0 |
1 |
\( -2\pi \operatorname{sen}\left(\frac{1}{2}\pi .1+\pi \right) \) |
2π |
2 |
\( -2\pi \operatorname{sen}\left(\frac{1}{2}\pi .2+\pi \right) \) |
0 |
3 |
\( -2\pi \operatorname{sen}\left(\frac{1}{2}\pi .3+\pi \right) \) |
−2π |
4 |
\( -2\pi \operatorname{sen}\left(\frac{1}{2}\pi .4+\pi \right) \) |
0 |
Tabela 2
Colocando os pontos encontrados num gráfico de
v em função de
t,
v =
f(
t), e
ligando os pontos, obtemos o gráfico de uma senóide (Gráfico 2)
Construindo-se uma tabela usando a expressão para a aceleração obtida no item (d), teremos
t |
\( a=-\pi ^{2}\cos \left(\frac{1}{2}\pi t+\pi \right) \) |
a |
0 |
\( -\pi ^{2}\cos \left(\frac{1}{2}\pi .0+\pi \right) \) |
π² |
1 |
\( -\pi ^{2}\cos \left(\frac{1}{2}\pi .1+\pi \right) \) |
0 |
2 |
\( -\pi ^{2}\cos \left(\frac{1}{2}\pi .2+\pi \right) \) |
−π² |
3 |
\( -\pi ^{2}\cos \left(\frac{1}{2}\pi .3+\pi \right) \) |
0 |
4 |
\( -\pi ^{2}\cos \left(\frac{1}{2}\pi .4+\pi \right) \) |
π² |
Tabela 3
Colocando os pontos encontrados num gráfico de
a em função de
t,
a =
f(
t), e
ligando os pontos, obtemos finalmente o gráfico de uma senóide (Gráfico 3)