Exercício Resolvido de Movimento Harmônico Simples (M.H.S.)
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O movimento de um corpo sobre o eixo-x obedece a seguinte equação
\[ x=4\cos \left(\frac{1}{2}\pi t+\pi \right) \]
unidades no S.I. Determinar:
a) A amplitude, a frequência angular e a fase inicial;
b) O período e a frequência do movimento;
c) A equação da velocidade;
d) A equação da aceleração;
e) Os módulos da velocidade máxima e da aceleração máxima;
f) Representar num mesmo gráfico a elongação, a velocidade e a aceleração em função do tempo.


Solução

A equação da posição é dada por
\[ \bbox[#99CCFF,10px] {x=A\cos \left(\omega t+\phi _{0}\right)} \]
a) Da equação temos, para a amplitude
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {A=4\;\text{m}} \]
para a frequência angular
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {\omega =\frac{1}{2}\pi \;\text{rad/s}} \]
e para a fase inicial
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {\phi _{0}=\pi \;\text{rad}} \]

b) A frequência angular é dada por
\[ \bbox[#99CCFF,10px] {\omega =\frac{2\pi }{T}} \]
invertendo esta fórmula temos o período
\[ \begin{gather} T=\frac{2\pi }{\omega}\\ T=\frac{2\cancel{\pi}}{\dfrac{1}{2}\cancel{\pi}}\\ T=2.2 \end{gather} \]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {T=4\;\text{s}} \]
A frequência do movimento é dada por
\[ \bbox[#99CCFF,10px] {f=\frac{1}{T}} \]
\[ f=\frac{1}{4} \]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {f=0,25\;\text{Hz}} \]

c) A equação da velocidade é dada por
\[ \bbox[#99CCFF,10px] {v=-\omega A\operatorname{sen}\left(\omega t+\phi _{0}\right)} \]
\[ v=-{\frac{1}{2}}\pi .4\operatorname{sen}\left(\frac{1}{2}\pi t+\pi \right) \]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {v=-2\pi \operatorname{sen}\left(\frac{1}{2}\pi t+\pi \right)} \]

d) A equação da aceleração é dada por
\[ \bbox[#99CCFF,10px] {a=-\omega ^{2}A\cos \left(\omega t+\phi _{0}\right)} \]
\[ \begin{gather} a=-\left(\frac{1}{2}\pi \right)^{2}.4\cos\left(\frac{1}{2}\pi t+\pi \right)\\ a=-{\frac{1}{4}}\pi ^{2}.4\cos\left(\frac{1}{2}\pi t+\pi \right) \end{gather} \]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {a=-\pi ^{2}\cos \left(\frac{1}{2}\pi t+\pi \right)} \]

e) O módulo da velocidade máxima ocorre quando \( \operatorname{sen}\left(\frac{1}{2}\pi t+\pi \right)=1 \), portanto
\[ \begin{gather} \left|v\right|_{max}=\left|-2\pi\underbrace{\operatorname{sen}\left(\frac{1}{2}\pi t+\pi\right)}_{1}\right|\\ \left|v\right|_{max}=\left|-2\pi \right| \end{gather} \]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {\left|v\right|_{max}=2\pi \;\text{m/s}} \]
O módulo da aceleração máxima ocorre quando \( \cos \left(\frac{1}{2}\pi t+\pi \right)=1 \), portanto
\[ \begin{gather} \left|a\right|_{max}=\left|-\pi^{2}\underbrace{\cos \left(\frac{1}{2}\pi t+\pi\right)}_{1}\right|\\ \left|a\right|_{max}=\left|-\pi^{2}\right| \end{gather} \]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {\left|a\right|_{max}=\pi^{2}} \]

f) Construindo-se uma tabela usando a expressão para a posição dada no problema, teremos

t \( x=4\cos \left(\frac{1}{2}\pi t+\pi \right) \) x
0 \( 4\cos \left(\frac{1}{2}\pi .0+\pi \right) \) −4
1 \( 4\cos \left(\frac{1}{2}\pi .1+\pi \right) \) 0
2 \( 4\cos \left(\frac{1}{2}\pi .2+\pi \right) \) 4
3 \( 4\cos \left(\frac{1}{2}\pi .3+\pi \right) \) 0
4 \( 4\cos \left(\frac{1}{2}\pi .4+\pi \right) \) −4

Tabela 1

Colocando os pontos encontrados num gráfico de x em função de t, x = f(t), e ligando os pontos, obtemos o gráfico de uma senóide (Gráfico 1)

Gráfico 1

Construindo-se uma tabela usando a expressão para a velocidade obtida no item (c), teremos

t \( v=-2\pi \operatorname{sen}\left(\frac{1}{2}\pi t+\pi \right) \) v
0 \( -2\pi \operatorname{sen}\left(\frac{1}{2}\pi .0+\pi \right) \) 0
1 \( -2\pi \operatorname{sen}\left(\frac{1}{2}\pi .1+\pi \right) \)
2 \( -2\pi \operatorname{sen}\left(\frac{1}{2}\pi .2+\pi \right) \) 0
3 \( -2\pi \operatorname{sen}\left(\frac{1}{2}\pi .3+\pi \right) \) −2π
4 \( -2\pi \operatorname{sen}\left(\frac{1}{2}\pi .4+\pi \right) \) 0

Tabela 2

Colocando os pontos encontrados num gráfico de v em função de t, v = f(t), e ligando os pontos, obtemos o gráfico de uma senóide (Gráfico 2)

Gráfico 2

Construindo-se uma tabela usando a expressão para a aceleração obtida no item (d), teremos

t \( a=-\pi ^{2}\cos \left(\frac{1}{2}\pi t+\pi \right) \) a
0 \( -\pi ^{2}\cos \left(\frac{1}{2}\pi .0+\pi \right) \) π²
1 \( -\pi ^{2}\cos \left(\frac{1}{2}\pi .1+\pi \right) \) 0
2 \( -\pi ^{2}\cos \left(\frac{1}{2}\pi .2+\pi \right) \) −π²
3 \( -\pi ^{2}\cos \left(\frac{1}{2}\pi .3+\pi \right) \) 0
4 \( -\pi ^{2}\cos \left(\frac{1}{2}\pi .4+\pi \right) \) π²

Tabela 3

Colocando os pontos encontrados num gráfico de a em função de t, a = f(t), e ligando os pontos, obtemos finalmente o gráfico de uma senóide (Gráfico 3)

Gráfico 3
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