Um ponto material de massa m = 0,04 kg oscila em torno da posição O de equilíbrio, com
M.H.S. A energia mecânica total do sistema é 32.10−4 J. Sendo a constante
elástica da mola k = 0,16 N/m e desprezando-se ações dissipativas, determine:
a) O período de oscilação;
b) A frequência angular;
c) A amplitude da oscilação;
d) As funções horárias da posição, velocidade e aceleração, adotando-se o eixo Ox orientado para a
direita e instante inicial t = 0 quando o móvel está na posição extrema P indicada na
figura.
e) O gráfico da posição (x) em função do tempo (t), a partir de t = 0 até
t = 2T, onde T é o período.
Dados do problema:
- Massa do corpo: m = 0,04 kg;
- Energia mecânica total do sistema: ET = 32.10−4 J;
- Constante elástica da mola: k = 0,16 N/m.
Solução
a) O período de oscilação é dado por
\[ \bbox[#99CCFF,10px]
{T=2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}}
\]
\[
\begin{gather}
T=2\pi \sqrt{\frac{0,04}{0,16}}\\
T=2\pi\sqrt{\frac{1}{4}}\\
T=2\pi \frac{1}{2}\\
T=\pi \tag{I}
\end{gather}
\]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px]
{T=3,14\;\text{s}}
\]
b) A frequência angular é obtida de
\[ \bbox[#99CCFF,10px]
{\omega =\frac{2\pi}{T}}
\]
usando o período
T na forma de (I) do item anterior
\[
\omega =\frac{2\pi }{\pi}
\]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px]
{\omega =2\;\text{rad/s}}
\]
c) A amplitude depende da energia mecânica total (energia cinética mais energia potencial, neste caso a energia
potencial elástica da mola)
\[
\begin{gather}
E_{M}=E_{C}+E_{PE} \tag{II}
\end{gather}
\]
A
Energia Cinética é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{E_{C}=\frac{mv^{2}}{2}} \tag{III}
\end{gather}
\]
A
Energia Potencial Elástica é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{E_{PE}=\frac{kx^{2}}{2}} \tag{IV}
\end{gather}
\]
substituindo as expressões (III) e (IV) na expressão (II)
\[
E_{M}=\frac{mv^{2}}{2}+\frac{kx^{2}}{2}
\]
No pontos de máxima amplitude (+A e −A) a partícula para e inverte o sentido da velocidade, neste
momento a sua velocidade é nula (v = 0), então nestes pontos de máxima amplitude a energia
cinética é zero e a energia mecânica é igual a energia potencial
\[
\begin{gather}
E_{M}=E_{PE}=\frac{kA^{2}}{2}\\
32.10^{-4}=\frac{0,16A^{2}}{2}\\
A^{2}=\frac{2.32.10^{-4}}{16.10^{-2}}\\
A^{2}=2.2.10^{-4}.10^{2}\\
A^{2}=4.10^{-2}\\
A=\sqrt{4.10^{-2}}\\
A=2.10^{-1}
\end{gather}
\]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px]
{A=0,2\;\text{m}}
\]
d) As funções horárias da posição (
x), velocidade (
v) e aceleração (
a) serão dadas por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{x=A\cos \left(\omega t+\phi_{0}\right)} \tag{V}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{v=-\omega A\operatorname{sen}\left(\omega t+\phi _{0}\right)} \tag{VI}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{a=-\omega^{2}A\cos \left(\omega t+\phi_{0}\right)} \tag{VII}
\end{gather}
\]
A frequência angular (ω) e a amplitude (
A) foram obtidas nos itens (c) e (d) acima
respectivamente, para a obtenção de φ
0 escrevemos a expressão (V) com os valores obtidos
\[
x=0,2\cos \left(2t+\phi_{0}\right)
\]
Observando a Figura 2, temos que em
t = 0 a partícula está em x = −A = −0,2 m,
substituindo estes valores na expressão acima para a posição
\[
\begin{gather}
-0,2=0,2\cos \left(2.0+\phi _{0}\right)\\
\cos \phi_{0}=-{\frac{0,2}{0,2}}\\
\cos \phi_{0}=-1\\
\phi_{0}=\operatorname{arc}\cos(-1)\\
\phi_{0}=\pi
\end{gather}
\]
Comparando a posição inicial da partícula em
t = 0 com uma outra partícula (
P), em
Movimento Circular Uniforme (
M.C.U.) girando em sentido anti-horário e com o espaço angular
medido a partir do eixo Ox, vemos que quando a partícula oscilante está na posição inicial −
A
a partícula
P descreve um ângulo de π, este ângulo então será a fase inicial da partícula oscilante
(φ
0), substituindo os valores da frequência angular, da amplitude e da fase inicial nas
expressões (V), (VI) e (VII)
\[ \bbox[#FFCCCC,10px]
{x=0,2\cos \left(2t+\pi \right)}
\]
\[
v=-2.0,2\operatorname{sen}\left(2t+\pi \right)
\]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px]
{v=-0,4\operatorname{sen}\left(2t+\pi \right)}
\]
\[
\begin{gather}
a=-2^{2}.02\cos \left(2t+\pi \right)\\
a=-4.02\cos\left(2t+\pi \right)
\end{gather}
\]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px]
{a=-0,8\cos \left(2t+\pi \right)}
\]
e) Queremos fazer o gráfico de zero até 2
T, no item (a) encontramos que
T = π, assim vamos
achar os valores da posição, dada pela expressão para
x no item anterior, entre
t = 0 e
t = 2
T = 2π, fazendo uma tabela
t |
\( x=0,2\cos \left(2t+\pi \right) \) |
x |
0 |
\( 0,2\cos \left(2.0+\pi \right) \) |
-0,2 |
\( \frac{\pi}{4} \) |
\( 0,2\cos \left(2.\frac{\pi}{4}+\pi \right) \) |
0 |
\( \frac{\pi}{2} \) |
\( 0,2\cos \left(2.\frac{\pi}{2}+\pi \right) \) |
0,2 |
\( \frac{3\pi}{4} \) |
\( 0,2\cos \left(2.\frac{3\pi}{4}+\pi \right) \) |
0 |
\( \pi \) |
\( 0,2\cos \left(2\pi +\pi \right) \) |
-0,2 |
\( \frac{5\pi}{4} \) |
\( 0,2\cos \left(2.\frac{5\pi }{4}+\pi \right) \) |
0 |
\( \frac{3\pi}{2} \) |
\( 0,2\cos \left(2.\frac{3\pi}{2}+\pi \right) \) |
0,2 |
\( \frac{7\pi}{4} \) |
\( 0,2\cos \left(2.\frac{7\pi}{4}+\pi \right) \) |
0 |
\( 2\pi \) |
\( 0,2\cos \left(2.2\pi +\pi \right) \) |
-0,2 |
Tabela 1
Colocando os pontos encontrados num gráfico de
x em função de
t,
x =
f(
t), e ligando
os pontos, obtemos o gráfico de uma senóide (Gráfico 1).