Exercício Resolvido de Lentes
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Calcular a que distância de uma lente, de convergência 2 dioptrias, deve ser posto um objeto para produzir uma imagem duas vezes maior do que o objeto.
Dados do problema:
- Relação entre o tamanho da imagem e do objeto: i = 2o;
- Convergência da lente: C = 2 di.
A convergência de uma lente é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{C=\frac{1}{f}} \tag{I}
\end{gather}
\]
A Equação dos Pontos Conjugados é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\frac{1}{f}=\frac{1}{p}+\frac{1}{p'}} \tag{II}
\end{gather}
\]
substituindo a expressão (I) na expressão (II)
\[
\begin{gather}
C=\frac{1}{p}+\frac{1}{p'} \tag{III}
\end{gather}
\]
A Equação do Aumento Linear é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{A=\frac{i}{o}=-{\frac{p'}{p}}} \tag{IV}
\end{gather}
\]
isolando o valor de
\( \dfrac{1}{p'} \)
na segunda igualdade da expressão (IV) e substituindo a relação de tamanho entre a imagem e o objeto dada no
problema
\[
\begin{gather}
\frac{1}{p'}=-{\frac{o}{ip}}\\
\frac{1}{p'}=-{\frac{o}{2op}}\\
\frac{1}{p'}=-{\frac{1}{2p}} \tag{V}
\end{gather}
\]
Como o problema nada diz a respeito da natureza da imagem há dois casos a serem analisados, a imagem pode
ser real
(p' > 0) e imagem virtual (p' < 0).Para o primeiro caso, imagem real (p' > 0), substituímos (V) em (III) e o valor da convergência dada no problema
\[
2=\frac{1}{p}-\frac{1}{2p}
\]
colocando o temo
\( \dfrac{1}{p} \)
em evidência do lado direito da igualdade
\[
\begin{gather}
2=\frac{1}{p}\left(1-\frac{1}{2}\right)\\
2=\frac{1}{p}\left(\frac{2-1}{2}\right)\\
p=\frac{1}{2}.\frac{1}{2}\\
p=\frac{1}{4}
\end{gather}
\]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px]
{p=0,25\;\text{m}}
\]
Para o segundo caso, imagem virtual (p' < 0), reescrevemos a expressão (V) como
\[
\begin{gather}
\frac{1}{-p'}=-{\frac{1}{2p}\;}\\
\frac{1}{p'}=\frac{1}{2p} \tag{VI}
\end{gather}
\]
substituindo a expressão (VI) na expressão (III) e o valor da convergência dada no problema
\[
2=\frac{1}{p}+\frac{1}{2p}
\]
colocando o temo
\( \dfrac{1}{p} \)
em evidência do lado direito da igualdade
\[
\begin{gather}
2=\frac{1}{p}\left(1+\frac{1}{2}\right)\\
2=\frac{1}{p}\left(\frac{2+1}{2}\right)\\
p=\frac{1}{2}.\frac{3}{2}\\
p=\frac{3}{4}
\end{gather}
\]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px]
{p=0,75\;\text{m}}
\]
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