Um objeto de comprimento 4 cm é colocado normalmente ao eixo principal de um espelho esférico côncavo a 60 cm
do seu vértice. A imagem conjugada pelo espelho é real, invertida e de comprimento 2 cm.
a) Calcule a distância focal do espelho e a distância entre o objeto e sua imagem;
b) Mantendo-se fixa a posição do objeto deseja-se obter uma imagem com as mesmas características, mas usando
uma lente
L. Calcular a distância focal da lente e a distância da lente ao objeto;
c) Usando uma lente
L1 de convergência 5 dioptrias, determinar a distância focal e o tipo
de uma lente
L2 que deve ser colada a
L1 para que o conjunto substitua
L.
Dados do problema:
- Comprimento do objeto: o = 4 cm;
- Distância do objeto ao espelho: p = 60 cm;
- Comprimento da imagem: i = −2 cm;
- Convergência da lente L1: C = 5 di.
Esquema do problema:
Adota-se um
Referencial de Gauss com orientação positiva para a esquerda, de onde vem a luz, e para
cima (Figura 1).
Solução
a) Usando a
Equação do Aumento Linear encontramos a distância da imagem ao espelho (
p')
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{A=\frac{i}{o}=-{\frac{p'}{p}}} \tag{I}
\end{gather}
\]
substituindo os valores na última igualdade
\[
\begin{gather}
\frac{-2}{4}=-{\frac{p'}{60}}\\
p'=-{\frac{(-2).60}{4}}\\
p'=\frac{120}{4}\\
p'=30\;\text{cm}
\end{gather}
\]
A distância entre o objeto e a imagem, será
\[
p-p'=60-30
\]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px]
{p-p'=30\;\text{cm}}
\]
Usando a
Equação dos Pontos Conjugados encontramos a distância focal
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\frac{1}{f}=\frac{1}{p}+\frac{1}{p'}} \tag{II}
\end{gather}
\]
\[
\frac{1}{f}=\frac{1}{60}+\frac{1}{30}
\]
o
Mínimo Múltiplo Comum (
M.M.C.) entre 60 e 30 é 60
\[
\begin{gather}
\frac{1}{f}=\frac{1+2}{60}\\
\frac{1}{f}=\frac{3}{60}\\
f=\frac{60}{3}
\end{gather}
\]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px]
{f=20\;\text{cm}}
\]
b) Esquecendo o espelho, mantendo as posições e os tamanhos do objeto e da imagem iguais, temos a seguinte
situação
Usando a expressão (I) achamos a relação entre as distâncias do objeto e da imagem à lente
\[
\begin{gather}
\frac{-2}{4}=-{\frac{p'}{p}}\\
p=-{\frac{4p'}{-2}}\\
p=2p \tag{III}
\end{gather}
\]
A distância do objeto à imagem deve continuar a ser 30 cm (Figura 2)
\[
\begin{gather}
p+p'=30 \tag{IV}
\end{gather}
\]
substituindo a expressão (III) na expressão (IV)
\[
\begin{gather}
2p'+p'=30\\
3p'=30\\
p'=\frac{30}{3}\\
p'=10\;\text{cm}
\end{gather}
\]
A expressão (III) nos fornece a distância da lente ao objeto
\[
p=2.10
\]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px]
{p=20\;\text{cm}}
\]
Usando a expressão (II) temos a distância focal da lente
\[
\frac{1}{f}=\frac{1}{20}+\frac{1}{10}
\]
o
Mínimo Múltiplo Comum (
M.M.C.) entre 20 e 10 é 20
\[
\begin{gather}
\frac{1}{f}=\frac{1+2}{20}\\
\frac{1}{f}=\frac{3}{20}\\
f=\frac{20}{3}
\end{gather}
\]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px]
{f=6,67\;\text{cm}}
\]
c) Em primeiro lugar devemos converter a distância focal da lente (
L), encontrada no item (b), de
centímetros (cm) para metros (m).
\[
f=6,67\;\cancel{\text{cm}}\frac{10^{-2}\;\text{m}}{1\;\cancel{\text{cm}}}=0,0667\;\text{m}
\]
A convergência ou vergência da lente
L é dada pelo inverso da distância focal
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{C=\frac{1}{f}} \tag{V}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
C=\frac{1}{0,0667}\\
C=15\;\text{di}
\end{gather}
\]
Numa associação de lente, a convergência é dada pela soma das convergências
\[
\begin{gather}
C=C_{1}+C_{2}\\
15=5+C_{2}\\
C_{2}=15-5\\
C_{2}=10\;\text{di}
\end{gather}
\]
A distância focal de
C2 será encontrada invertendo a expressão (V)
\[
\begin{gather}
f=\frac{1}{C}\\
f=\frac{1}{10}\\
f=0,1\;\text{m}
\end{gather}
\]
convertendo a distância focal de metros (m) para centímetros (cm)
\[
f=0,1\;\cancel{\text{m}}\frac{100\;\text{cm}}{1\;\cancel{\text{m}}}=10\;\text{cm}
\]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px]
{f=10\;\text{cm}}
\]
Como a convergência é positiva (
C2 > 0) a lente
L2 deve ser
convergente.