Exercício Resolvido de Lentes
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Os raios de curvatura de uma lente delgada côncavo-convexa são 60 cm e 24 cm e seu índice de refração é de 1,5. Coloca-se um objeto de altura 2 cm a 30 cm da lente, calcule:
a) A convergência da lente;
b) A distância da imagem à lente;
c) A altura da imagem.
Dados do problema:
- Raios de curvatura (usando a convenção de que para a superfície convexa o raio é positivo e para a superfície côncava o raio é negativo).
- superfície convexa: R1 = 24 cm;
- superfície côncava: R2 = -60 cm;
- Altura do objeto: o = 2 cm;
- Distância do objeto à lente: p = 30 cm;
- Índice de refração da lente: n = 1,5.
Solução
a) A convergência ou vergência da lente é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{C=\frac{1}{f}} \tag{I}
\end{gather}
\]
portanto é preciso primeiramente calcular a distância focal (f) da lente, esta será dada pela
Fórmula dos Fabricantes de Lentes ou Equação de Halley para lentes delgadas
\[ \bbox[#99CCFF,10px]
{\frac{1}{f}=\left(\frac{n_{2}}{n_{1}}-1\right)\left(\frac{1}{R_{1}}+\frac{1}{R_{2}}\right)}
\]
sendo o índice de refração da lente n = n2 = 1,5 e o índice de refração do ar
n1 = 1, substituindo os dados
\[
\begin{gather}
\frac{1}{f}=\left(\frac{1,5}{1}-1\right)\left(\frac{1}{24}+\frac{1}{-60}\right)\\
\frac{1}{f}=\left(\frac{1,5}{1}-1\right)\left(\frac{1}{24}-\frac{1}{60}\right)
\end{gather}
\]
o Mínimo Múltiplo Comum (M.M.C.) entre 24 e 60 será 120
\[
\begin{gather}
\frac{1}{f}=\left(1,5-1\right)\left(\frac{5-2}{120}\right)\\
\frac{1}{f}=0,5.\frac{3}{120}\\
\frac{1}{f}=0,5.\frac{1}{40}\\
\frac{1}{f}=\frac{1}{80}\\
f=80\;\text{cm}
\end{gather}
\]
convertendo a distância focal da lente de centímetros (cm) para metros (m)
\[
f=80\;\cancel{\text{cm}}.\frac{10^{-2}\;\text{m}}{1\;\cancel{\text{cm}}}=0,8\;\text{m}
\]
substituindo o valor encontrado na expressão (I) acima, temos para a convergência
\[
C=\frac{1}{0,8}
\]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px]
{C=1,25\;\text{di}}
\]
b) A distância da imagem à lente (p') será calculada pela Equação dos Pontos Conjugados
\[ \bbox[#99CCFF,10px]
{\frac{1}{f}=\frac{1}{p}+\frac{1}{p'}}
\]
\[
\begin{gather}
\frac{1}{80}=\frac{1}{30}+\frac{1}{p'}\\
\frac{1}{p'}=\frac{1}{80}-\frac{1}{30}
\end{gather}
\]
o Mínimo Múltiplo Comum (M.M.C.) entre 30 e 80 é 240
\[
\begin{gather}
\frac{1}{p'}=\frac{3-8}{240}\\
\frac{1}{p'}=-{\frac{5}{240}}\\
p'=-{\frac{240}{5}}
\end{gather}
\]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px]
{p'=-48\;\text{cm}}
\]
Como a distância da imagem à lente é negativa isto indica que a imagem esta do mesmo lado que o objeto e,
portanto, é imagem virtual.
c) O tamanho da imagem será obtido pela Equação do Aumento Linear Transversal
\[ \bbox[#99CCFF,10px]
{\frac{i}{o}=-{\frac{p'}{p}}}
\]
\[
\begin{gather}
\frac{i}{2}=-{\frac{(-48)}{30}}\\
i=2.\frac{48}{30}
\end{gather}
\]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px]
{i=3,2\;\text{cm}}
\]
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