Exercício Resolvido de Instrumentos Ópticos
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A objetiva de um telescópio simples tem 60 cm de distância focal e a ocular tem distância focal igual a 1,5 cm. A imagem de um astro observado vai se formar a 43,5 cm da ocular. Determine o comprimento do tubo que constitui o telescópio.
Construção da imagem:
Usando a propriedades de que, todo raio que incide em uma direção que passe pelo centro óptico da lente não sofre desvio (Figura 1), um raio de luz que passa pelo centro óptico da objetiva O1 não sofre desvio, sendo este raio inclinado em relação ao eixo principal ele será um eixo secundário e vai determinar no plano focal, um foco secundário onde se forma a imagem i1.
Um segundo raio de luz paralelo ao eixo secundário atravessa a lente e é refratado saindo também, pelo foco secundário (Figura 2).
Observação: Este raio não é necessário para a determinação da imagem i1,
ele apenas ilustra que para objetos no infinito todos os raios chegam paralelos ao instrumento, e que
raios paralelos ao eixo secundário são refratados pelo foco secundário.
A imagem i1 da objetiva é agora objeto o2 para a ocular (\( i_{1}\equiv o_{2} \)). Novamente um raio que passa pelo centro óptico, agora da ocular O2, não sofre desvio (Figura 3).
Usando a propriedade de que, todo raio que incide paralelamente ao eixo principal, emerge passando pelo foco principal imagem F', temos que um raio que sai de o2 paralelo ao eixo principal sai pelo foco F'2 (Figura 4).
Os dois raios encontrados acima não determinam uma imagem do lado do observador, para determinar a imagem é necessário prolongar estes raios para o lado do objeto o2, do cruzamento deles temos a imagem i2 aumentada (Figura 5).
Dados do problema:
- Distância focal da objetiva: f1 = 60 cm;
- Distância focal da ocular: f2 = 1,5 cm;
- Distância da imagem à ocular: p'2 = −43,5 cm.
Adotamos um Referencial de Gauss, do lado da luz incidente temos a abscissa positiva para o objeto real, p > 0, e negativa para a imagem virtual, p' < 0, do lado oposto temos a abscissa do objeto virtual negativa, p < 0, e positiva para a imagem real p' > 0.
A imagem i1 possui abscissa positiva, está atrás da lente objetiva (p'1 > 0, imagem real), ela é também objeto para a lente ocular, como está na frente da lente possui abscissa positiva (p2 > 0, objeto real), a imagem i2 está na frente da lente ocular, é uma imagem virtual e possui abscissa negativa (p'2 < 0).
Solução
O comprimento do tubo será a soma da distância focal da objetiva, f1, com a distância p2, que representa o objeto para a ocular (Figura 6). Para encontrar p2 usamos a Equação dos Pontos Conjugados
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\frac{1}{f}=\frac{1}{p}+\frac{1}{p'}}
\end{gather}
\]
aplicando à segunda lente (ocular)
\[
\begin{gather}
\frac{1}{f_{2}}=\frac{1}{p_{2}}+\frac{1}{p'_{2}}\\[5pt]
\frac{1}{p_{2}}=\frac{1}{f_{2}}-\frac{1}{p'_{2}}\\[5pt]
\frac{1}{p_{2}}=\frac{1}{1,5}-\frac{1}{(-43,5)}\\[5pt]
\frac{1}{p_{2}}=\frac{1}{1,5}+\frac{1}{43,5}
\end{gather}
\]
escrevendo
\( 1,5=\frac{15}{10} \)
e
\( 43,5=\frac{435}{10} \)
\[
\begin{gather}
\frac{1}{p_{2}}=\frac{1}{\frac{15}{10}}+\frac{1}{\frac{435}{10}}\\[5pt]
\frac{1}{p_{2}}=\frac{10}{15}+\frac{10}{435}
\end{gather}
\]
multiplicando e dividindo por 29 o primeiro termo do lado direito da equação
\[
\begin{gather}
\frac{1}{p_{2}}=\frac{29}{29}.\frac{10}{15}+\frac{10}{435}\\[5pt]
\frac{1}{p_{2}}=\frac{290+10}{435}\\[5pt]
\frac{1}{p_{2}}=\frac{300}{435}\\[5pt]
p_{2}=\frac{435}{300}\\[5pt]
p_{2}=1,45\;\text{cm}
\end{gather}
\]
o comprimento d do tubo será
\[
\begin{gather}
d=f_{1}+p_{2}\\[5pt]
d=60+1,45
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{d=61,45\;\text{cm}}
\end{gather}
\]
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