Exercício Resolvido de Espelhos Planos
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Um espelho plano se afasta de um observador, em repouso em relação à Terra, com velocidade constante de translação igual a v. Determine a velocidade da imagem em relação:
a) Ao observador;
b) Ao espelho.
Dado do problema:
- Velocidade do espelho: v.
Inicialmente o espelho está numa posição E1 em relação ao observador O, então
desenhamos a imagem a esta mesma distância atrás do espelho, temos
\( \overline{{OE}_{1}}=\overline{E_{1}I_{1}} \)
(Figura 1-A.)
Após o espelho se deslocar para uma nova posição E2 desenhamos a imagem a esta mesma distância, assim \( \overline{{OE}_{2}}=\overline{E_{2}I_{2}} \) (Figura 1-B.)
Após o espelho se deslocar para uma nova posição E2 desenhamos a imagem a esta mesma distância, assim \( \overline{{OE}_{2}}=\overline{E_{2}I_{2}} \) (Figura 1-B.)
Esquema do problema:
Na situação inicial o espelho se encontra na posição E1 em relação ao observador
O, a uma distância
\( \overline{{OE}_{1}} \),
e a imagem se encontra na posição I1 em relação ao observador O, a distância
\( \overline{{OI}_{1}} \),
onde
(\( \overline{{OI}_{1}}=2\overline{{OE}_{1}} \)),
pela Figura 1-A e Figura 2.
Após um intervalo de tempo Δt o espelho se desloca a uma velocidade v até uma posição E2 em relação ao observador O, a uma distância \( \overline{{OE}_{2}} \) e a imagem se encontra na posição I2 em relação ao observador O, a distância \( \overline{{OI}_{2}} \) onde (\( \overline{{OI}_{2}}=2\overline{{OE}_{2}} \)), pela Figura 1-B e Figura 2.
Solução
a) O deslocamento da imagem será
\[
D=\overline{{OI}_{2}}-\overline{{OI}_{1}}
\]
pelo esquema do problema podemos reescrever
\[
D=2\overline{{OE}_{2}}-2\overline{{OE}_{1}}
\]
colocando o fator 2 em evidência
\[
\begin{gather}
D=2(\overline{{OE}_{2}}-\overline{{OE}_{1}}) \tag{I}
\end{gather}
\]
O deslocamento do espelho será
\[
\begin{gather}
d=\overline{{OE}_{2}}-\overline{{OE}_{1}} \tag{II}
\end{gather}
\]
substituindo a expressão (II) na expressão (I)
\[
D=2d
\]
dividindo ambos os lados da igualdade por Δt
\[
\begin{gather}
\frac{D}{\Delta t}=2\frac{d}{\Delta t} \tag{III}
\end{gather}
\]
Sendo a velocidade dada por
\[ \bbox[#99CCFF,10px]
{v=\frac{\Delta S}{\Delta t}}
\]
na expressão (III) o lado esquerdo da igualdade representa velocidade da imagem (vI), e
do lado direito da igualdade temos a velocidade do espelho dada no problema
\[ \bbox[#FFCCCC,10px]
{v_{I}=2v}
\]
b) Da expressão para movimentos relativos
\[ \bbox[#99CCFF,10px]
{v_{A}=v_{A/B}+v_{B}}
\]
onde vA é a velocidade em relação ao referencial “absoluto”, no caso o observador,
assim vA = vI; vA/B é a
velocidade relativa a um referencial em movimento, no caso a velocidade da imagem em relação ao espelho
vA/B = vI/E; e vB é a
velocidade do referencial, no caso a velocidade do espelho vB = vE.
Então a expressão fica
\[
v_{I}=v_{I/E}+v_{E}
\]
a velocidade da imagem foi encontrada no item (a), vI = 2v, a velocidade do espelho
é o dado do problema, vE = v e a velocidade da imagem em relação ao espelho,
vI/E é o que desejamos encontrar (Figura 3).
\[
\begin{gather}
2v=v_{I/E}+v\\
v_{I/E}=2v-v
\end{gather}
\]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px]
{v_{I/E}=v}
\]
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