Exercício Resolvido de Espelhos Planos
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Dois espelhos planos formam entre si um certo ângulo. Calcular esse ângulo, sabendo-se que se reduzindo esse ângulo de 15° o número de imagens, produzido pelo sistema de um dado objeto, é aumentado de 4.


Dados do problema:
  • Ângulo na primeira situação:    θ1;
  • Ângulo na segunda situação:    θ2 = θ1 − 15°;
  • Número de imagens na primeira situação:    n1;
  • Número de imagens na segunda situação:    n2 = n1+4.
Solução

Para dois espelhos formando um certo ângulo o número de imagens é dado por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {n=\frac{360°}{\theta}-1} \end{gather} \]
Escrevendo a expressão acima para as duas situações do problema e utilizando as condições dadas temos o seguinte conjunto de equações
\[ \begin{gather} n_{1}=\frac{360°}{\theta_{1}}-1 \tag{I} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} n_{2}=\frac{360°}{\theta_{2}}-1 \tag{II} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \theta_{2}=\theta_{1}-15° \tag{III} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} n_{2}=n_{1}+4 \tag{IV} \end{gather} \]
Substituindo as expressões (III) e (IV) na expressão (II)
\[ \begin{gather} n_{1}+4=\frac{360°}{\theta _{1}-15°}-1 \end{gather} \]
substituindo n1 acima pela expressão (I)
\[ \begin{gather} \frac{360°}{\theta_{1}}-1+4=\frac{360°}{\theta_{1}-15°}-1\\[5pt] \frac{360°}{\theta_{1}}+4-\frac{360°}{\theta _{1}-15°}=0 \end{gather} \]
multiplicando todos os termos pelo produto dos denominadores, θ1.(θ1 − 15°)
\[ \begin{gather} \frac{360°}{\cancel{\theta_{1}}}\cancel{\theta_{1}}(\theta_{1}-15°)+4\theta_{1}(\theta_{1}-15°)-\frac{360°}{\cancel{(\theta_{1}-15°)}}\theta_{1}\cancel{(\theta_{1}-15°)}=0.\theta_{1}(\theta_{1}-15°)\\[5pt] 360°(\theta _{1}-15°)+4\theta_{1}(\theta _{1}-15°)-360°\theta_{1}=0\\[5pt] 360°\theta _{1}-5400°+4\theta_{1}^{2}-60°\theta _{1}-360°\theta _{1}=0\\[5pt] 4\theta_{1}^{2}-60°\theta _{1}-5400°=0 \end{gather} \]
dividindo toda a equação por 4
\[ \begin{gather} \theta_{1}^{2}-15°\theta_{1}-1350°=0 \end{gather} \]
Esta é uma Equação do 2.º Grau em θ1.

Solução da Equação do 2.º Grau   \( \theta_{1}^{2}-15°\theta_{1}-1350°=0 \)
\[ \begin{gather} \Delta=b^{2}-4.a.c=(-15)^{2}-4.1.(-1350)=225+5400=5625\\[10pt] x=\frac{-b\pm\sqrt{\;\Delta \;}}{2a}=\frac{-(-15)\pm \sqrt{5625\;}}{2.1}=\frac{15\pm 75}{2} \end{gather} \]
as duas raízes da equação serão
\[ \begin{gather} \theta_{1}'=45° \quad \text{ou} \quad \theta_{1}"=-30° \end{gather} \]

Desprezando a solução com ângulo negativo a solução será
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {\theta=45°} \end{gather} \]
Observação: Usando as expressões (I), (II) e (III) para analisar os resultados vemos que para θ1= θ'1 = 45° temos que o número de imagens na primeira situação é igual a
\[ \begin{gather} n_{1}=\frac{360°}{45°}-1=7\;\text{imagens} \end{gather} \]
Reduzindo-se o ângulo de 15°, temos na situação 2
\[ \begin{gather} \theta_{2}=45°-15°=30° \end{gather} \]
\[ \begin{gather} n_{2}=\frac{360°}{30°}-1=11\;\text{imagens} \end{gather} \]
o número de imagens passou de 7 para 11, aumentando de 4, que é a situação descrita no problema
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