Dois espelhos planos formam entre si um certo ângulo. Calcular esse ângulo, sabendo-se que se reduzindo
esse ângulo de 15° o número de imagens, produzido pelo sistema de um dado objeto, é aumentado de 4.
Dados do problema:
- Ângulo na primeira situação: θ1;
- Ângulo na segunda situação: θ2 = θ1 − 15°;
- Número de imagens na primeira situação: n1;
- Número de imagens na segunda situação: n2 = n1+4.
Solução
Para dois espelhos formando um certo ângulo o número de imagens é dado por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{n=\frac{360°}{\theta}-1}
\end{gather}
\]
Escrevendo a expressão acima para as duas situações do problema e utilizando as condições dadas temos o
seguinte conjunto de equações
\[
\begin{gather}
n_{1}=\frac{360°}{\theta_{1}}-1 \tag{I}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
n_{2}=\frac{360°}{\theta_{2}}-1 \tag{II}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\theta_{2}=\theta_{1}-15° \tag{III}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
n_{2}=n_{1}+4 \tag{IV}
\end{gather}
\]
Substituindo as expressões (III) e (IV) na expressão (II)
\[
\begin{gather}
n_{1}+4=\frac{360°}{\theta _{1}-15°}-1
\end{gather}
\]
substituindo
n1 acima pela expressão (I)
\[
\begin{gather}
\frac{360°}{\theta_{1}}-1+4=\frac{360°}{\theta_{1}-15°}-1\\[5pt]
\frac{360°}{\theta_{1}}+4-\frac{360°}{\theta _{1}-15°}=0
\end{gather}
\]
multiplicando todos os termos pelo produto dos denominadores,
θ
1.(θ
1 − 15°)
\[
\begin{gather}
\frac{360°}{\cancel{\theta_{1}}}\cancel{\theta_{1}}(\theta_{1}-15°)+4\theta_{1}(\theta_{1}-15°)-\frac{360°}{\cancel{(\theta_{1}-15°)}}\theta_{1}\cancel{(\theta_{1}-15°)}=0.\theta_{1}(\theta_{1}-15°)\\[5pt]
360°(\theta _{1}-15°)+4\theta_{1}(\theta _{1}-15°)-360°\theta_{1}=0\\[5pt]
360°\theta _{1}-5400°+4\theta_{1}^{2}-60°\theta _{1}-360°\theta _{1}=0\\[5pt]
4\theta_{1}^{2}-60°\theta _{1}-5400°=0
\end{gather}
\]
dividindo toda a equação por 4
\[
\begin{gather}
\theta_{1}^{2}-15°\theta_{1}-1350°=0
\end{gather}
\]
Esta é uma
Equação do 2.º Grau em θ
1.
Solução da
Equação do 2.º Grau \( \theta_{1}^{2}-15°\theta_{1}-1350°=0 \)
\[
\begin{gather}
\Delta=b^{2}-4.a.c=(-15)^{2}-4.1.(-1350)=225+5400=5625\\[10pt]
x=\frac{-b\pm\sqrt{\;\Delta \;}}{2a}=\frac{-(-15)\pm \sqrt{5625\;}}{2.1}=\frac{15\pm 75}{2}
\end{gather}
\]
as duas raízes da equação serão
\[
\begin{gather}
\theta_{1}'=45° \quad \text{ou} \quad \theta_{1}"=-30°
\end{gather}
\]
Desprezando a solução com ângulo negativo a solução será
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{\theta=45°}
\end{gather}
\]
Observação: Usando as expressões (I), (II) e (III) para analisar os resultados vemos que para
θ
1= θ'
1 = 45° temos que o número de imagens na primeira situação é
igual a
\[
\begin{gather}
n_{1}=\frac{360°}{45°}-1=7\;\text{imagens}
\end{gather}
\]
Reduzindo-se o ângulo de 15°, temos na situação 2
\[
\begin{gather}
\theta_{2}=45°-15°=30°
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
n_{2}=\frac{360°}{30°}-1=11\;\text{imagens}
\end{gather}
\]
o número de imagens passou de 7 para 11, aumentando de 4, que é a situação descrita no problema