Exercício Resolvido de Dioptro

Um reservatório cilíndrico tem por base um espelho esférico côncavo E, cuja face refletora é voltada para o interior do cilindro. O vértice do espelho é o ponto V e seu raio de curvatura vale 16 cm, o eixo principal do espelho é vertical e coincidente com o eixo do cilindro. O interior desse cilindro está cheio de água até uma altura VA = 8 cm. Sobre o eixo do cilindro e acima da água encontra-se um objeto a 20 cm de V. Sendo o índice de refração da água 4/3, determinar a posição da imagem final produzida por refração na água e reflexão no espelho.

Dados do problema:

Distância do objeto ao espelho: p = 20 cm;
Raio de curvatura do espelho: R = 16 cm;
Índice de refração da água: \( n_{2}=\dfrac{4}{3} \);
Adotando-se o meio externo como sendo o ar, índice de refração do ar: n₁ = 1.

Esquema do problema:

Figura 1

Solução

A distância focal do espelho é dada por

\[ \bbox[#99CCFF,10px] {f=\frac{R}{2}} \]

\[ \begin{gather} f=\frac{16}{2}\\ f=8\;\text{cm} \end{gather} \]

O foco do espelho está situado no ponto A na superfície de separação entre o ar e a água.
Usando a propriedade dos espelhos esféricos que diz que todo raio de luz que incide paralelamente ao eixo principal é refletido passando pelo foco principal do espelho, obtemos a situação mostrada na Figura 2.
O raio de luz vindo do objeto incide perpendicularmente na superfície de separação ar/água e passa sem sofrer desvio, o raio reflete no espelho em direção ao foco e neste ponto é refratado. O raio refletido incide na superfície de separação formando um ângulo \( {\hat{i}}_{1} \) e é refratado para o meio externo formando um ângulo \( {\hat{r}}_{1} \) com a normal.

Figura 2

Tomando-se um segundo, este incidi na superfície de separação ar/água onde está o foco do espelho e é refratado em direção ao vértice do espelho, usando a propriedade de que todo raio de luz que incide no foco do espelho reflete-se paralelamente ao eixo principal, temos a situação mostrada na Figura 3.
O raio de luz incide na água formando um ângulo \( {\hat{i}}_{2} \) com a normal e é refratado para dentro da água formando um ângulo \( {\hat{r}}_{2} \), o raio de luz incide, então, no vértice do espelho e é refletido paralelamente ao eixo principal.

Figura 3

Do cruzamento entre os dois raios temos o ponto onde se forma a imagem i. A distância p' é o valor a ser calculado.

Figura 4

Consideremos o primeiro raio refletido no espelho e refratado para o meio (mostrado em destaque na Figura 5), aplicando a Lei de Snell-Descartes (leia-se snél-decárte)

\[ \bbox[#99CCFF,10px] {n_{1}\operatorname{sen}\theta _{1}=n_{2}\operatorname{sen}\theta _{2}} \]

Figura 5

Fazendo a aproximação \( \operatorname{sen}\theta \approx \operatorname{tg}\theta \) para \( {\hat{i}}_{1} \) e \( {\hat{r}}_{1} \) pequenos, podemos reescrever a Lei de Snell-Descartes da seguinte forma

\[ \begin{gather} n_{2}\operatorname{tg} \hat{i}_{1}=n_{1}\operatorname{tg}\hat{r}_{1} \tag{I} \end{gather} \]

Observação: Considerando o círculo trigonométrico, para pequenos ângulos o valor do seno medido ao longo do eixo-y é aproximadamente igual ao valor da tangente medida sobre a reta tangente ao círculo trigonométrico, e o valor do cosseno medido ao longo do eixo-x é aproximadamente igual a 1 (Figura 6).
Se tiver dificuldade em entender essa aproximação pense com valores numéricos, por exemplo:

para θ = 1° = 0,017453 radianos
sen 1° = 0,017452
tg 1° = 0,017455
cos 1° = 0,999847

para θ = 5° = 0,087266 radianos
sen 5° = 0,087156
tg 5° = 0,087489
cos 5° = 0,996195

Figura 6

Da trigonometria

\[ \operatorname{tg}{\hat{i}}_{1}=\frac{\text{cateto oposto}}{\text{cateto adjacente}}=\frac{o}{f} \]

\[ \operatorname{tg}{\hat{r}}_{1}=\frac{\text{cateto oposto}}{\text{cateto adjacente}}=\frac{i}{p'-f} \]

substituindo estes valores na expressão (I)

\[ \begin{gather} n_{2}\frac{o}{f}=n_{1}\frac{i}{p'-f}\\ \frac{i}{o}=\frac{n_{2}}{n_{1}}\frac{p'-f}{f} \tag{II} \end{gather} \]

Consideremos o segundo raio incidente na superfície da água no ponto onde está o foco, e refratado para a água (Figura 7), aplicando, novamente, a Lei de Snell-Descartes

\[ n_{1}\operatorname{sen}{\hat{i}}_{2}=n_{2}\operatorname{sen}{\hat{r}}_{2} \]

Usando novamente a aproximação \( \operatorname{sen}\theta \approx \operatorname{tg}\theta \) para \( {\hat{i}}_{2} \) e \( {\hat{r}}_{2} \) pequenos, podemos reescrever a Lei de Snell-Descartes da seguinte forma

\[ \begin{gather} n_{1}\operatorname{tg}{\hat{i}}_{2}=n_{2}\operatorname{tg}{\hat{r}}_{2} \tag{III} \end{gather} \]

As tangentes serão dadas por

\[ \operatorname{tg}{\hat{i}}_{2}=\frac{\text{cateto oposto}}{\text{cateto adjacente}}=\frac{o}{p-f} \]

\[ \operatorname{tg}{\hat{r}}_{2}=\frac{\text{cateto oposto}}{\text{cateto adjacente}}=\frac{i}{f} \]

substituindo estes valores na expressão (III)

\[ \begin{gather} n_{1}\frac{o}{p-f}=n_{2}\frac{i}{f}\\ \frac{i}{o}=\frac{n_{1}}{n_{2}}\frac{f}{p-f} \tag{IV} \end{gather} \]

Igualando as expressões (II) e (IV)

\[ \begin{gather} \frac{n_{2}}{n_{1}}\frac{p'-f}{f}=\frac{n_{1}}{n_{2}}\frac{f}{p-f}\\ p'-f=\frac{n_{1}^{2}}{n_{2}^{2}}\frac{f^{2}}{p-f}\\ p'=\frac{n_{1}^{2}}{n_{2}^{2}}\frac{f^{2}}{p-f}+f \end{gather} \]

substituindo os dados do problema e o valor do foco calculado

\[ \begin{gather} p'=\frac{1^{2}.8^{2}}{\left(\frac{4}{3}\right)^{2}.(20-8)}+8\\ p'=\frac{1.64}{\frac{16}{9}.12}+8\\ p'=\frac{9}{16}.\frac{64}{12}+8\\p'=3+8\\ p'=11 \end{gather} \]

Figura 7

A imagem se formará a 11 cm do vértice do espelho ou a p'−f = 11−8 = 3 cm acima da água.

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