Exercício Resolvido de Impulso e Quantidade de Movimento

Dos extremos de uma plataforma de comprimento L, apoiada sobre roletes sem atrito, um adulto e uma criança estão correndo um em direção ao outro. Determinar de quanto deslizará a plataforma, quando o adulto passar de um extremo ao outro da plataforma. Sabe-se que a velocidade do adulto é o dobro da velocidade da criança, as massas da plataforma, do adulto e da criança são m₁, m₂ e m₃, respectivamente.

Dados do problema:

Comprimento da plataforma: L;
Massa da plataforma: m₁;
Massa do adulto: m₂;
Velocidade do adulto: v₂;
Massa da criança: m₃;
Velocidade da criança: v₃.

Esquema do problema:

Como o sistema homem-criança-plataforma é isolado de forças externas a força de interação do sistema é interna ao conjunto e, portanto, vale o Princípio da Conservação da Quantidade de Movimento.
Adotando-se um referencial na plataforma (R') o homem anda o comprimento L da plataforma e como a velocidade da criança é a metade da velocidade do homem, ela anda metade do comprimento da plataforma \( \left(\frac{L}{2}\right) \).
Colocando-se o referencial (R) fixo na água com o mesmo sentido da velocidade do homem, quando este anda para frente, pela conservação da quantidade de movimento, a plataforma se desloca para trás. A plataforma se desloca de uma distância D a determinar, então, em relação ao referencial na água o homem anda a distância de L−D. Como a velocidade do homem é maior ele “arrasta” para trás a plataforma com a criança. Colocando-se o referencial (R) fixo na água com o mesmo sentido da velocidade da criança, quando esta anda para frente ela se desloca junto com a plataforma. A plataforma se desloca de uma distância D e a criança se desloca \( \frac{L}{2} \), então, em relação ao referencial na água a criança se desloca \( \frac{L}{2}+D \).

Figura 1

Solução

A quantidade de movimento é dada por

\[ \bbox[#99CCFF,10px] {Q=m v} \]

A quantidade de movimento do homem \( \left(Q_{h}\right) \) deve ser igual à soma das quantidades de movimento da plataforma e da criança \( \left(Q_{p}+Q_{c}\right) \)

\[ \begin{gather} Q_{h}=Q_{p}+Q_{c}\\ m_{2}v_{2}=m_{1}v_{1}+m_{3}v_{3} \end{gather} \]

as velocidades da plataforma, do homem e da criança serão, respectivamente, \( v_{1}=\frac{\Delta S_{p}}{\Delta t} \), \( v_{2}=\frac{\Delta S_{h}}{\Delta t} \) e \( v_{3}=\frac{\Delta S_{c}}{\Delta t} \), assim

\[ m_{2}\frac{\Delta S_{h}}{\cancel{\Delta t}}=m_{1}\frac{\Delta S_{p}}{\cancel{\Delta t}}+m_{3}\frac{\Delta S_{c}}{\cancel{\Delta t}} \]

simplificando Δt de ambos os lados da igualdade

\[ m_{2}\Delta S_{h}=m_{1}\Delta S_{p}+m_{3}\Delta S_{c} \]

com relação ao referencial na água o deslocamento do homem será \( \Delta S_{h}=L-D \) (Figura 1), o deslocamento da plataforma será \( \Delta S_{p}=D \) e o deslocamento da criança será \( \Delta S_{c}=\dfrac{L}{2}+D \), substituindo estes valores na expressão acima fica

\[ \begin{gather} m_{2}(L-D)=m_{1}D+m_{3}\left(\frac{L}{2}+D\right)\\ m_{2}L-m_{2}D=m_{1}D+m_{3}\frac{L}{2}+m_{3}D\\ m_{2}L-m_{3}\frac{L}{2}=m_{1}D+m_{3}D+m_{2}D \end{gather} \]

do lado esquerdo da igualdade multiplicamos e dividimos o primeiro termo por 2 e do lado direito da igualdade colocamos D em evidência

\[ \begin{gather} m_{2}L\frac{2}{2}-m_{3}\frac{L}{2}=D(m_{1}+m_{3}+m_{2})\\ D(m_{1}+m_{3}+m_{2})=2m_{2}\frac{L}{2}-m_{3}\frac{L}{2} \end{gather} \]

colocando \( \dfrac{L}{2} \) em evidência do lado direito da igualdade, temos

\[ D(m_{1}+m_{3}+m_{2})=\frac{L}{2}(2m_{2}-m_{3}) \]

\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {D=\frac{2m_{2}-m_{3}}{m_{1}+m_{3}+m_{2}}\frac{L}{2}} \]