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Exercício Resolvido de Impulso e Quantidade de Movimento


Dois barcos navegam paralelamente ao encontro um do outro com velocidades iguais. Quando os barcos se cruzam, lança-se uma carga de um barco para o outro e em seguida do segundo para o primeiro outra carga igual. Em outro caso as cargas são lançadas simultaneamente. Em qual caso a velocidade dos barcos depois do lançamento das cargas será maior?


Dados do problema:
  • Massa dos barcos:    M;
  • Massa das cargas:    m;
  • Velocidade inicial dos barcos:    v0.
Solução

  • Caso em que uma das cargas é lançada após a outra
Adotamos um sistema de referência com o eixo orientado para a direita no sentido de deslocamento do barco (a), conforme Figura 1.
Na situação inicial para o barco (a) sua massa é a soma das massas do barco e da carga (M+m) e navega com velocidade v0. A carga do barco (b) possui massa m e se desloca com a velocidade do barco (−v0), assim quando esta massa é lançada para o barco (a) ela transfere para este uma quantidade de movimento −mv0 (Figura 1-A).
Na situação final o barco (a) possui massa (M+2m) e velocidade v1 (Figura 1-B).
Na situação inicial para o barco (b) sua massa é M, sua carga já foi lançada para o barco (a), e navega com velocidade −v0, a carga do barco (a) possui massa m e se desloca com a mesma velocidade do barco (v1), assim quando esta massa é lançada para o barco (b) ela transfere para este uma quantidade de movimento mv1 (Figura 1-C).
Na situação final o barco (b) possui massa (M+m) e velocidade −v2 (Figura 1-D).
Figura 1

A quantidade de movimento é dada por
\[ \bbox[#99CCFF,10px] {Q=mv} \]
Do Princípio da Conservação da Quantidade de Movimento escrevemos para cada um dos barcos

  • Barco (a)
\[ \begin{gather} Q_{i}^{a}=Q_{f}^{a}\\ (M+m)v_{0}-mv_{0}=(M+2m)v_{1} \tag{I} \end{gather} \]
  • Barco (b)
\[ \begin{gather} Q_{i}^{b}=Q_{f}^{b}\\ -Mv_{0}+mv_{1}=(M+m)v_{2} \tag{II} \end{gather} \]
As expressões (I) e (II) formam um sistema de duas equações a duas incógnitas (v1 e v2)
\[ \left\{ \begin{array}{l} \;(M+m)v_{0}-mv_{0}=(M+2m)v_{1}\\ \;-Mv_{0}+mv_{1}=(M+m)v_{2} \end{array} \right. \]
da primeira equação temos
\[ \begin{gather} Mv_{0}+mv_{0}-mv_{0}=(M+2m)v_{1}\\ Mv_{0}=(M+2m)v_{1}\\ v_{1}=\frac{M}{M+2m}v_{0} \tag{III} \end{gather} \]
substituindo a expressão (III) na segunda equação, obtemos
\[ -Mv_{0}+m\frac{M}{M+2m}v_{0}=(M+m)v_{2} \]
multiplicando ambos os lados da igualdade por (M+2m), temos
\[ \begin{gather} -(M+2m)Mv_{0}+(M+2m)m\frac{M}{M+2m}v_{0}=(M+2m)(M+m)v_{2}\\ -M^{2}v_{0}-2Mmv_{0}+Mmv_{0}=(M+2m)(M+m)v_{2}\\ -M^{2}v_{0}-Mmv_{0}=(M+2m)(M+m)v_{2} \end{gather} \]
colocando −Mv0 em evidência do lado esquerdo da igualdade, obtemos
\[ -Mv_{0}\cancel{(M+m)}=(M+2m)\cancel{(M+m)}v_{2} \]
simplificando o termo (M+m) de ambos os lados da igualdade
\[ \begin{gather} -Mv_{0}=(M+2m)v_{2}\\ v_{2}=\frac{-{M}}{M+2m}v_{0} \tag{IV} \end{gather} \]
Com as expressões (III) e (IV) podemos escrever
\[ \begin{gather} v_{1}=-v_{2}=\frac{M}{M+2m}v_{0} \tag{V} \end{gather} \]
  • Caso em que as cargas são lançadas simultaneamente
Adotamos o mesmo sistema de referência da situação anterior (Figura 2).
Na situação inicial para o barco (a), sua carga já foi lançada e ela transfere uma quantidade de movimento mv0 para o barco (b), sua massa fica sendo M, e navega com velocidade v0. Simultaneamente o barco (b) lança sua carga e ela transfere uma quantidade de movimento −mv0 para o barco (a), sua massa fica sendo M, e navega com velocidade −v0 (Figura 2-A).
Na situação final o barco (a) possui massa (M+m) e velocidade v3. Na situação final o barco (b) possui massa (M+m) e velocidade −v4 (Figura 2-B).
Figura 2

Do Princípio da Conservação da Quantidade de Movimento escrevemos para cada um dos barcos

  • Barco (a)
\[ \begin{gather} Q_{i}^{a}=Q_{f}^{a}\\ Mv_{0}-mv_{0}=(M+m)v_{3} \tag{VI} \end{gather} \]
  • Barco (b)
\[ \begin{gather} Q_{i}^{b}=Q_{f}^{b}\\ -Mv_{0}+mv_{0}=(M+m)v_{4} \tag{VII} \end{gather} \]
da expressão (VI) temos
\[ \begin{gather} (M-m)v_{0}=(M+m)v_{3}\\ v_{3}=\frac{M-m}{M+m}v_{0} \tag{VIII} \end{gather} \]
da expressão (VII) temos
\[ \begin{gather} -(M-m)v_{0}=(M+m)v_{4}\\ v_{4}=\frac{-{M-m}}{M+m}v_{0} \tag{IX} \end{gather} \]
Com as expressões (VIII) e (IX) podemos escrever
\[ \begin{gather} v_{3}=-v_{4}=\frac{M-m}{M+m}v_{0} \tag{X} \end{gather} \]
Para encontrar a maior velocidade devemos comparar as expressões (V) e (X).
Para colocar as expressões no mesmo denominador multiplicamos o numerador e o denominador da expressão (V) por (M+m), e, o numerador e o denominador, da expressão (X) por (M+2m).

\( v_{1}=\dfrac{(M+m)}{(M+m)}\dfrac{M}{(M+2m)}v_{0}=\dfrac{M^{2}+Mm}{(M+m)(M+2m)}v_{0} \)
\( v_{1}=\dfrac{(M+m)}{(M+m)}\dfrac{M}{(M+2m)}v_{0}=\dfrac{M^{2}+Mm}{(M+m)(M+2m)}v_{0} \)



\( v_{3}=\dfrac{(M+2m)}{(M+2m)}\dfrac{(M-m)}{(M+m)}v_{0}=\dfrac{M^{2}-Mm+2Mm-2m^{2}}{(M+m)(M+2m)}v_{0}=\dfrac{M^{2}+Mm-2m^{2}}{(M+m)(M+2m)}v_{0} \)
\( v_{3}=\dfrac{(M+2m)}{(M+2m)}\dfrac{(M-m)}{(M+m)}v_{0}=\dfrac{M^{2}-Mm+2Mm-2m^{2}}{(M+m)(M+2m)}v_{0}=\dfrac{M^{2}+Mm-2m^{2}}{(M+m)(M+2m)}v_{0} \)


As duas expressões acima estão sobre o mesmo denominador, representam o mesmo número, na primeira expressão o numerador é \( M^{2}+Mn \) e na segunda expressão o numerador é este valor subtraído do valor \( 2m^{2} \), portanto, a segunda fração representa um valor menor
\[ \begin{gather} v_{1}=\frac{M^{2}+Mm}{(M+m)(M+2m)}v_{0}>\frac{M^{2}+Mm-2m^{2}}{(M+m)(M+2m)}v_{0}=v_{3}\\ v_{1}>v_{3} \end{gather} \]
A velocidade no primeiro caso é maior.

Observação: Quando o tripulante do barco age sobre a carga lançando esta com uma força \( \vec{F} \), perpendicular à trajetória do barco, ele reage sobre o barco com uma força \( -\vec{F} \), isto causaria um deslocamento lateral do barco. Para evitar este movimento vamos assumir que a massa da carga é pequena de modo que a força \( \vec{F} \) é tal que possa ser equilibrada pela força de resistência da água \( {\vec{F}}_{R} \) agindo na lateral do barco (Figura 3).

Figura 3
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Fisicaexe - Exercícios Resolvidos de Física de Elcio Brandani Mondadori está licenciado com uma Licença Creative Commons - Atribuição-NãoComercial-Compartilha Igual 4.0 Internacional .