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Exercício Resolvido de Impulso e Quantidade de Movimento


Um corpo de massa m cai de uma altura H a partir do repouso, um outro corpo, de massa desconhecida, também cai a partir do repouso, de uma altura h. Calcule a massa do corpo desconhecido de modo que ambos atinjam o solo com o mesmo impulso. Adote g para a aceleração da gravidade local.


Dados do problema:
  • Massa do corpo A:    m;
  • Altura de queda do corpo A:    H;
  • Velocidade inicial do corpo A:    v0A = 0;
  • Altura de queda do corpo B:    h;
  • Velocidade inicial do corpo B:    v0B = 0;
  • Aceleração da gravidade:    g.
Esquema do problema:

Adotamos M > m e H > h, ambas as alturas são medidas a partir do solo, adotado como Nível de Referência (N.R.), como mostrado na Figura 1.

Figura 1

Solução

Usando o Teorema do Impulso
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {I=\Delta Q=Q_{f}-Q_{i}} \tag{I} \end{gather} \]
A quantidade de movimento (Q) é dada por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {Q=mv} \tag{II} \end{gather} \]
substituindo (II) em (I), temos
\[ \begin{gather} I=mv_{f}-mv_{i} \tag{III} \end{gather} \]
A velocidade final pode ser encontrada usando o Princípio da Conservação da Energia Mecânica, a energia mecânica inicial, no ponto em que o corpo é liberado deve ser igual à energia mecânica final, no solo
\[ \begin{gather} E_{M}^{i}=E_{M}^{f}\\ E_{p}^{i}+E_{c}^{i}=E_{p}^{f}+E_{c}^{f} \end{gather} \]
A Energia Potencial é dada por
\[ \bbox[#99CCFF,10px] {E_{p}=mgh} \]
e a Energia Cinética é dada por
\[ \bbox[#99CCFF,10px] {E_{c}=\frac{mv^{2}}{2}} \]
\[ \cancel{m}gh_{i}+\frac{\cancel{m}v_{i}^{2}}{2}=\cancel{m}gh_{f}+\frac{\cancel{m}v_{f}^{2}}{2} \]
simplificando a massa m de ambos os lados da igualdade, temos
\[ gh_{i}+\frac{v_{i}^{2}}{2}=gh_{f}+\frac{v_{f}^{2}}{2} \tag{IV} \]
Para o corpo de massa m, temos sua altura inicial igual a H (hi = H), a velocidade inicial é nula (vi = v0A = 0), como o corpo chega ao solo, que é o Nível de Referência, sua altura final é nula (hf = 0), então sua velocidade final (vf = vA) será
\[ \begin{gather} gH+\frac{0^{2}}{2}=g.0+\frac{v_{A}^{2}}{2}\\ gH=\frac{v_{A}^{2}}{2}\\ v_{A}^{2}=2gH\\ v_{A}=\sqrt{2gH\;} \tag{V} \end{gather} \]
substituindo a expressão (V) e a velocidade inicial em (III) o impulso do corpo A (IA) ao chegar no solo será
\[ \begin{gather} I_{A}=mv_{A}-mv_{0A}\\ I_{A}=m\sqrt{2gH\;}-m.0\\ I_{A}=m\sqrt{2gH\;} \tag{VI} \end{gather} \]
Para o corpo de massa desconhecida (M), temos sua altura inicial igual a h (hi = h), a velocidade inicial é nula (vi = v0B = 0), como o corpo chega ao solo, que é o Nível de Referência, sua altura final é nula (hf = 0), então sua velocidade final (vf = vB) será pela expressão (IV)
\[ \begin{gather} gh+\frac{0^{2}}{2}=g.0+\frac{v_{B}^{2}}{2}\\ gh=\frac{v_{B}^{2}}{2}\\ v_{B}^{2}=2gh\\ v_{B}=\sqrt{2gh\;} \tag{VII} \end{gather} \]
substituindo a expressão (VII) e a velocidade inicial em (III) o impulso do corpo B (IB) ao chegar no solo será
\[ \begin{gather} I_{B}=Mv_{B}-Mv_{0B}\\ I_{B}=M\sqrt{2gh\;}-M.0\\ I_{B}=M\sqrt{2gh\;} \tag{VIII} \end{gather} \]
Igualando as expressões (VI) e (VIII), temos
\[ \begin{gather} I_{A}=I_{B}\\ m\sqrt{2gH\;}=M\sqrt{2gh\;} \end{gather} \]
usando a propriedade da radiciação que nos diz que \( \sqrt{a.b\;}=\sqrt{a\;}.\sqrt{b\;} \), podemos reescrever as raízes da expressão nas seguintes formas \( \sqrt{2gH\;}=\sqrt{2g\;}.\sqrt{H\;} \) e \( \sqrt{2gh\;}=\sqrt{2g\;}.\sqrt{h\;} \)
\[ m\cancel{\sqrt{2g\;}}\sqrt{H\;}=M\cancel{\sqrt{2g\;}}\sqrt{h\;} \]
simplificando o termo \( \sqrt{2g\;} \) de ambos os lados da igualdade, obtemos
\[ m\sqrt{H\;}=M\sqrt{h\;}\\ \]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {M=m\frac{\sqrt{H\;}}{\sqrt{h\;}}} \]

Observação: Vamos supor que m = 1 kg, H = 80 m e h = 0,2 m, então M vale
\[ \begin{gather} M=1.\sqrt{\frac{80\;}{0,2\;}}\\ M=\sqrt{400\;}\\ M=20\;\text{kg} \end{gather} \]
isto quer dizer que um tijolo de 1 quilograma caindo de um prédio de 80 metros de altura faz o mesmo “estrago“ que uma pedra de 20 quilogramas caindo de uma altura de 20 centímetros.
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