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Exercício Resolvido de Impulso e Quantidade de Movimento


Um caminhão tanque se desloca com velocidade constante de 20 m/s. Percebendo um obstáculo o motorista freia bruscamente e o veículo leva 8 s até parar. Supondo o tanque com a forma de um cilindro horizontal com 3 m de comprimento e completamente cheio de óleo com massa específica igual a 0,8 g/cm3, pede-se calcular a pressão exercida pelo óleo na parede anterior do tanque durante a freada.


Dados do problema:
  • Velocidade inicial do caminhão:    vi = 20 m/s;
  • Velocidade final do caminhão:    vf = 0;
  • Tempo que o caminhão leva para parar:    Δt = 8 s;
  • Comprimento do tanque de óleo:    L = 3 m;
  • Massa específica do óleo:    μ = 0,8 g/cm3.
Esquema do problema:

Figura 1

Durante o movimento o óleo se move junto com o caminhão com a mesma velocidade, quando o caminhão freia o óleo tem a tendência de continuar o movimento, mas como ele está limitado pelas paredes do tanque ele vai exercer uma pressão na parede da frente do tanque (Figura 1).

Solução

Em primeiro lugar vamos converter as unidades da massa específica do óleo dado em g/cm3 para kg/m3 usado no Sistema Internacional (S.I.)
\[ \mu=0,8\;\frac{\cancel{\text{g}}}{\text{cm}^{3}}.\frac{10^{-3}\;\text{kg}}{1\;\cancel{\text{g}}}.\frac{(10^{2}\;\text{cm})^{3}}{1\;\text{m}^{3}}=0,8\;\frac{1}{\cancel{\text{cm}^{3}}}.10^{-3}\;\text{kg}.\frac{10^{6}\;\cancel{\text{cm}^{3}}}{1\;\text{m}^{3}}=0,8.10^{3}\;\frac{\text{kg}}{\text{m}^{3}}=800\;\frac{\text{kg}}{\text{m}^{3}} \]
A pressão (P) que o óleo vai exercer sobre a parede anterior do tanque será dada por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {P=\frac{F_{o}}{A}} \tag{I} \end{gather} \]
onde Fo é a força exercida pelo óleo contra a parede do tanque durante o tempo de frenagem e A é a área da parede do tanque.
O impulso da forca de frenagem do caminhão será
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {I=F_{F}\Delta t} \tag{II} \end{gather} \]
onde FF é a força de frenagem do caminhão e Δt o tempo em que ela atua sobre o caminhão.
As forças do óleo sobre a parede do tanque e de frenagem estão representadas na Figura 2, elas possuem mesma intensidade e direção, e sentidos opostos, assim podemos escrever
\[ \begin{gather} F_{o}=F_{F} \tag{III} \end{gather} \]
Figura 2

Pelo Teorema do Impulso temos, que o impulso é igual à variação da quantidade de movimento
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {I=\Delta Q=Q_{f}-Q_{i}} \tag{IV} \end{gather} \]
igualando as expressões (II) e (IV) e usando a expressão (III) obtemos
\[ \begin{gather} Q_{f}-Q_{i}=-F_{o}\Delta t \tag{V} \end{gather} \]
A quantidade de movimento é dada por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {Q=mv} \tag{VI} \end{gather} \]
substituindo a expressão (VI) em (V) temos
\[ \begin{gather} mv_{f}-mv_{i}=-F_{o}\Delta t\\ m.0-mv_{i}=-F_{o}\Delta t\\ -mv_{i}=-F_{o}\Delta t\\ mv_{i}=F_{o}\Delta t \tag{VII} \end{gather} \]
Aqui a massa considerada é a de óleo que faz pressão contra a parede do tanque, a massa de óleo em função da massa específica dada no problema é calculada por
\[ \bbox[#99CCFF,10px] {\mu =\frac{m}{V}} \]
\[ \begin{gather} \mu =\frac{m}{V} \tag{VIII} \end{gather} \]
onde V é o volume do tanque de forma cilíndrica. O volume de um cilindro será a área da base multiplicada pela altura (Figura 3)
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {V=AL} \tag{IX} \end{gather} \]
Figura 3

substituindo a expressão (IX) em (VIII)
\[ \begin{gather} m=\mu AL \tag{X} \end{gather} \]
e substituindo a expressão (X) em (VII) ficamos com
\[ \begin{gather} F_{o}\Delta t=\mu ALv_{i}\\ \frac{F_{o}}{A}=\frac{\mu Lv_{i}}{\Delta t} \tag{XI} \end{gather} \]
Agora podemos ver que o lado esquerdo da expressão (XI) é igual ao lado direito da expressão (I) que nos dá a pressão desejada, então igualando estes valores temos
\[ P=\frac{\mu Lv_{i}}{\Delta t} \]
Finalmente substituindo os valores numéricos dados no problema
\[ P=\frac{800.3.20}{8} \]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {P=6000\;\text{Pa}} \]
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