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Exercício Resolvido de Impulso e Quantidade de Movimento


Um homem de massa m está sentado na popa de um barco em repouso, num lago. A massa do barco é M = 3m e seu comprimento é L. O homem levanta-se e anda em direção à proa. Desprezando a resistência da água, determine a distância D que o bote percorre durante o percurso do homem da popa a proa.


Dados do problema:
  • Massa do homem:    m;
  • Massa do barco:    M = 3m;
  • Comprimento do barco:    L.
Esquema do problema:

Como o sistema homem-barco é isolado de forças externas a força de interação do sistema é interna ao conjunto e, portanto, vale o Princípio da Conservação da Quantidade de Movimento.

Figura 1

Adotando-se um referencial no barco (R') o homem anda o comprimento L do barco. Colocando-se o referencial (R) fixo na água, quando o homem anda para frente, pela conservação da quantidade de movimento, o barco anda para trás. O barco se desloca de uma distância D a determinar, então, em relação ao referencial na água o homem anda a distância de LD.

Solução

A quantidade de movimento é dada por
\[ \bbox[#99CCFF,10px] {Q=mv} \]
A quantidade de movimento do homem (Qh) deve ser igual à quantidade de movimento do barco (QB)
\[ \begin{gather} Q_{h}=Q_{B}\\ m v=M V \end{gather} \]
as velocidades do homem e do barco serão respectivamente \( v=\frac{\Delta s}{\Delta t} \) e \( V=\frac{\Delta S}{\Delta t} \), substituindo na expressão acima
\[ \begin{gather} m\frac{\Delta s}{\Delta t}=M\frac{\Delta S}{\Delta t}\\ m\Delta s=M\Delta S \end{gather} \]
com relação ao referencial na água o deslocamento do homem será Δs = LD (Figura 1) e o deslocamento do barco será ΔS = D, substituindo estes valores e a massa do barco dada a expressão acima fica
\[ \begin{gather} m(L-D)=3mD\\L-D=3D\\ 3D-D=L\\ 4D=L \end{gather} \]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {D=\frac{L}{4}} \]
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